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Analysis » Integration » Beschränktheit bei L¹-Funktionen
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Universität/Hochschule Beschränktheit bei L¹-Funktionen
King_Simon Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-19

Hallo Zusammen
Wir hatten an der Uni einen Satz. Bei diesem Satz muss zuerst gezeigt werden, dass von einer Funktion f in L1 das integral der absoluten Funktion beschränkt sein muss.

Jedoch dachte immer, dass dies direkt aus f ist eine L1 Funktion folgt.
Denn eine L1 Funktion, kann ja als Differenz von zwei L^inc Funktionen geschrieben werden. Eine L^inc Funktion besitzt eine Treppenfunktion folge, welche gegen diese Funktion konvergiert. Ebenfalls ist die Integralfolge der Treppenfunktion beschränkt. Somit ist ja mit limes gegen unendlich das integral der L^inc Funktion auch beschränkt. Und da das integral der L^1 Funktion aus der Differenz der Integrale der L^inc Funktionen geschrieben werden kann, so sollte doch auch dies beschränkt sein.

Und nun wenn f aus L1 ist dann ist ja auch abs(f) in L^1 und somit folgt dies doch direkt aus L1.

Jedoch sieht es in der Vorlesung so aus, als ob das nicht so selbstverständlich folgt.

Wo liegt mein Denkfehler?



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Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19
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Hallo King_Simon,

kannst du vielleicht eure Definitionen präzisieren? Von einer $L^{\mathrm{inc}}$-Funktion habe ich noch nie gehört, und als Definition einer $L^p$-Funktion kenne ich eigentlich auch nur, dass sie messbar sind mit $\int\vert f\vert^p\d\mu<\infty$.
Sind $L^1$-Funktionen bei euch direkt als integrierbare Funktionen definiert?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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King_Simon Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

L1 ist die Menge der Lebesgue integrierbaren funktionen.

Ist somit das integral der absoluten Funktion immer beschränkt?



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Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-19

Dann gilt ja, dass das Integral über den Negativ- und den Positivanteil jeweils existiert und endlich ist. Die Summe dieser Integrale ist dann wegen der Linearität des Integrals gleich dem Integral über die Summe von Positiv- und Negativanteil, was gerade der Betrag ist. Die Summe zweier endlicher Werte ist natürlich wieder endlich, also ja, das Integral ist immer endlich.



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