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Universität/Hochschule J Stammfunktion zu pfaffscher Form
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander

Ich habe die folgende Aufgabe (hoffentlich korrekt) gelöst und möchte euch gerne um Verbesserungsvorschläge bezüglich der "Text-Verfassung" bitten, denn ich habe drei weitere solcher Aufgaben und ich möchte sicher sein, dass meine Argumentation korrekt ist.


Aufgabe: Finde Stammfunktionen der 1-Form $\omega_1 = (x+\cos y)\mathrm{d}y + y\mathrm{d}x$ auf einer geeigneten Menge von $\mathbb{R}^2$.

Lösung: Gesucht ist $f:U \to \mathbb{R}$ mit $U \subseteq \mathbb{R}^2$, sodass $\mathrm{d}f=\omega_1$ erfüllt ist. Der Gradient der Funktion soll also
\[
\begin{align*}
    \nabla f =
    \begin{pmatrix}
        y \\
        x+\cos y
    \end{pmatrix}
\end{align*}
\] sein. Damit folgt
\[
\begin{align*}
    \int \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x &= \int y \mathrm{d}x = xy + C \\
    \int \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y &= \int (x+\cos y) \mathrm{d}y = xy + \sin y + C
\end{align*}
\] und es ergibt sich, dass $f(x,y):=xy + \sin y + C$ mit $C \in \mathbb{R}$ eine Stammfunktion ist von $\omega_1$, denn
\[
\begin{align*}
    \mathrm{d}f
    &= \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y \\
    &= y \mathrm{d}x + (x + \cos y) \mathrm{d}y \\
    &= \omega_1.
\end{align*}
\] Die Abbildung $f$ hat keine Polstellen, somit folgt $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ (definiert auf ganz $\mathbb{R}^2$).

Ich danke im Voraus für eure Tipps.
\(\endgroup\)


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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19

Huhu Phoensie,

sieht m.E. gut aus. Alternativ kann man auch \(\int \frac{\partial f}{\partial x}\, \mathrm{d}x = \int y \,\mathrm{d}x = xy + C(y) \) schreiben und dann wieder nach \(y\) differenzieren. Es ergibt sich \(\frac{\partial}{\partial y} (xy+C(y))=x+C'(y)\). Vergleich mit \(x+\cos y\) liefert also \(C'(y)=\cos(y)\) und somit \(C(y)=\sin y\).

Gruß,

Küstenkind

PS: Ich würde zwischen Integrand und Differential noch ein wenig Abstand lassen. Mit \(\LaTeX\): \,



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 252, aus: Muri AG, Schweiz
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Tiptop, danke Kuestenkind!



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