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Universität/Hochschule Mathematische Schreibweise für Induktionsbeispiel
Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-19

Ich habe Schwierigkeiten eine Textaufgabe in eine geeignete Schreibweise umzuwandeln.
Die Aufgabenstellung lautet:
Eine Personen verfügt über eine unlimitierte Menge an 2€ Münzen sowie 5€ Scheinen. Nun soll mittels Induktion bewiesen werden, dass jeder ganzzahlige Betrag ab 4€ mit dieser Kombination "erreicht" werden kann.

Wenn man sich das einfach logisch überlegt, ist es echt extrem simple diesen Umstand im Kopf zu beweisen. Aber ich suche eine geeignete Schreibweise / mathematische Formulierung dieses Problems um es anschließen mittels Induktion beweisen zu können.

Grundsätzlich erreicht man alle geraden Beträge indem man einfach nur 2€ Münzen addiert. Man könnte natürlich auch eine gewisse Anzahl an 2*5€ Scheinen nehmen, dann geht es schneller, aber ich glaub das spielt jetzt keine Rolle.
Ungerade Beträge erreicht man, indem man einen 5€ Schein als Startwert nimmt und zu diesem dann einen gewisse Anzahl an 2€ Münzen dazu addiert.
Mathematisch komm ich da auf:
\(x\cdot5€+y⋅2€=n,n∈N\)
Aber mit dem Term kann man schätzungsweise absolut nichts anfangen.
Ich gehe mal davon aus, dass sich auf der linken Seite des Terms, als auch auf der rechten Seite des Terms jeweils ein \(n\) vorkommt.
Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?
LG



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das sieht doch auch schon ganz gut aus (es geht hier nur nicht um einen Induktionsbeweis 😉).

Für den Term \(5x+2y\) muss man eigentlich nur noch die Grundmenge für \((x,y)\) angeben. Und dann noch begründen, warum dieser Term nur eine der Formen \(2n\) oder \(2n+1\) für geeignete \(n\) besitzen kann.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Induktion' in Forum 'Zahlen - Darstellbarkeit' von Diophant]
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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Ähm, ja....
Also kurz vorneweg.  Ich muss hier keinen Induktionsanfang, kein Induktionsschritt, usw. durchführen, verstehe ich das richtig?

Nun zum Thema:
Was ist eine Grundmenge?
Ist damit eine gewisse Anzahl an x oder y gemeint. Die gibt es nämlich meiner Meinung nach nicht. Ich mein klar, man braucht mindestens 2*2€ Münzen um anzufangen. Danach alterniert aber die Anzahl an benötigten x und y.

2020-10-19 18:34 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Und dann noch begründen, warum dieser Term nur eine der Formen \(2n\) oder \(2n+1\) für geeignete \(n\) besitzen kann.

Ja, da geht es weiter 🙃
Ich mein, ich weiß nichtmal wie genau ich eine Frage dazu formulieren soll.
\(2n\) steht für gerade Zahlen, \(2n+1\) für ungerade Zahlen. Aber was.. wie... warum... was hat das damit zu tun?
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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

Grundmenge meint hier diejenige Menge, aus der die Parameter \(x\) und \(y\) kommen können (es geht ja nur um nichtnegative Geldbeträge!).

Sei \(x=0\). Dann ist für \(y\in\IN\) der Term \(2y\) eine gerade Zahl und umgekehrt gibt es zu jeder geraden Zahl der Form \(2n\) genau ein \(y\) mit \(2y=2n\).

Das gleiche machst du jetzt mal für den Fall \(x=1\)...

Welches ist dann insbesondere die kleinste ungerade Zahl, die sich so darstellen lässst?


Gruß, Diophant
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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Hallo, bezüglich der Grundmenge.
Also ich hätte das jetzt so formuliert:
\[x,y\in\mathbb{N},x:\left[0,\infty\right],y:\left[0,4\right]\] Im Sinne von:
Grundsätzlich sind x und y Bestandteile der natürlichen Zahlen. Genau gesagt kann x die Werte 0 bis Unendlich annehmen und y kann die Werte 0,1,2,3,4 annehmen (mehr wird nicht benötigt).
Ist das so richtig von mir verstanden?



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-10-19 20:14 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo, bezüglich der Grundmenge.
Also ich hätte das jetzt so formuliert:
\[x,y\in\mathbb{N},x:\left[0,\infty\right],y:\left[0,4\right]\] Im Sinne von:
Grundsätzlich sind x und y Bestandteile der natürlichen Zahlen. Genau gesagt kann x die Werte 0 bis Unendlich annehmen und y kann die Werte 0,1,2,3,4 annehmen (mehr wird nicht benötigt).
Ist das so richtig von mir verstanden?

Nein. Es geht doch um Geldbeträge, die man mit beliebig vielen 2- und 5-Euro-Münzen bezahlen kann. Betonung jeweils auf beliebig viele. Also ist \((x,y)\in\IN^2\). Oder getrennt geschrieben: \(x\in\IN\), \(y\in\IN\). Ohne Einschränkungen.

Jetzt begründe noch, warum man so jeden ungeraden Eurobetrag ab 5€ stückeln kann.


Gruß, Diophant
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Achso. Ich dachte mir, sobald ich \(5y\) habe, kann ich diese mit \(2x\) umschreiben, daher hab ich das nur bis 4 geführt. Aber da man vermutlich nicht die \(5y\) durch \(2x\) ersetzen muss, kann man auch für \(y\) den gesamten \(\mathbb{N}\) zählen lassen.

Bezüglich der ungeraden Zahlen:
Eine ungerade Zahl lässt sich mit dem Konzept \(5+2y\) darstellen.
Aber ich vermute mal, dass ich nicht Begründung genug, oder?



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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-19 20:38 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Achso. Ich dachte mir, sobald ich \(5y\) habe, kann ich diese mit \(2x\) umschreiben, daher hab ich das nur bis 4 geführt. Aber da man vermutlich nicht die \(5y\) durch \(2x\) ersetzen muss, kann man auch für \(y\) den gesamten \(\mathbb{N}\) zählen lassen.

Bezüglich der ungeraden Zahlen:
Eine ungerade Zahl lässt sich mit dem Konzept \(5+2y\) darstellen.
Aber ich vermute mal, dass ich nicht Begründung genug, oder?

im Prinzip schon (also: jede ungerade Zahl ab der 5). Jetzt kommt es wieder darauf an, welche Ansprüche da an die Form von Beweisen gestellt werden. Ausführlich könnte man etwa so argumentieren:

\[5+2y=4+1+2y=\underbrace{2y+4}_{=2z\ \text{mit y=z-2}}+1=2z+1\]
Also ist jede ungerade Zahl ab 5 auf diese Weise darstellbar. Das war jetzt die sehr gründliche Vesion. 😉


Gruß, Diophant
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Ok, verstehe.
Und diese Beweismethode nennt sich trotzdem "Induktion"?. Gibt es da Unterschied zur vollständigen Induktion?
Vollständige Induktion ist ja das, bei dem man mit Induktionsanfang, Induktionsschritt, usw. argumentiert, nicht?



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-19

Hallo,

nein, das ist hier keine Induktion, sondern ein direkter Beweis.


Gruß, Diophant



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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-19

Oh, oh. In der Angabe war allerdings ein Beweis mittels Induktion gefordert 🤔.
Wäre das jetzt was völlig anderes?



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-10-19

Hallo

Bei Induktion wird n auf n+1 geschlossen, das ist hier aber nicht der Fall.

Gruß Caban



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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-19

Huhu spedex,

orientiere dich doch hier:



"Induktionsanfang: Es wird bewiesen, dass die Aussage für die kleinste Zahl, den Startwert, gilt."

Das ist doch schon mal kein Problem, oder?

Gruß,

Küstenkind



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-19

Hallo Spedex,

da hatte ich dich vorhin falsch verstanden (bzgl. der Frage Induktion ja/nein). Sorry!

Du kannst aber das bisherige auch für einen Induktionsbeweis verwenden, bzw. für zwei solche Beweise. Nämlich für die geraden und die ungeraden Zahlen getrennt.

Suche jeweils einen geeigneten Induktionsanfang und führe in beiden Fällen eine Induktion nach y durch.

Allerdings ist das nun wirklich eine seltsame Aufgabe...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]

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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Aber wenn ich mir die Formel für gerade Beträge anschaue, nämlich \(2x=n\), wie soll ich da einen Induktionsanfang finden. Ich mein, normalerweise setzt man doch für alle n den kleinsten möglichen Wert ein. Ich könnte hier für \(n=4\) einsetzten. Dann komm ich auf \(x=2\). Aber das bringt uns ja nichts, nicht?



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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.15, eingetragen 2020-10-20
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich habe ja auch schon eine Einschätzung gegeben, was von der Aufgabe zu halten ist.

Für gerade Zahlen:

Induktionsanfang (\(y=0\)): \(2\cdot 0=0\) ist gerade.

Induktionsvoraussetzung: \(2y\) ist gerade.

Induktionsschluss: \(2(y+1)=2y+2\) ist die nächstgrößere gerade Zahl nach \(2y\) (da \(2y\) nach Voraussetzung gerade ist). Also werden alle nichtnegativen geraden Werte erreicht, indem man nur mit 2-Euromünzen bezahlt.

Jetzt kannst du das 1:1 auf die ungeraden Zahlen übertragen.


Gruß, Diophant
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DerEinfaeltige Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.02.2015, Mitteilungen: 2529
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Beitrag No.16, eingetragen 2020-10-20

Skizze einer Induktion ohne Unterscheidung gerader und ungerader Zahlen:

Annahme:
Jede natürliche Zahl $n\geq4$ ist als Summe von 2ern und 5ern darstellbar.

Anfang:
Für $n=4$ und $n=5$ kann man es direkt ausrechnen.

Schritt:
Für jedes $n\geq5$ kann man $n+1$ als Summe von $n-1$ und $2$ darstellen und $n-1$ selbst gemäß Annahme ebenfalls.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Spedex Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ok, das ist echt ein komisches Beispiel.
Definitiv nicht das, was ich mir unter den klassischen Induktionsbeispielen vorstelle. Hat mich deswegen auch aus der Bahn geworfen.

Aber jetzt passt es.

Danke für die Hilfe!

LG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 12.04.2016, Mitteilungen: 1854
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Beitrag No.18, eingetragen 2020-10-20

Hmm - das ist doch klassische Induktion:

Anfang: \(4=2\cdot2 \quad \checkmark\)

Schritt: Für jedes \(n>4\) schließen wir von \(n\to n+1\). Sei also \(n>4\). Für jedes \(n\) gibt es laute IV eine Kombination. Wir können unterscheiden, ob ein 5€-Schein n der Kombination dabei ist, oder nicht. Falls dieses nicht der Fall ist, sind mindestens drei 2 Stücke dabei. Ersetze zwei davon durch ein 5€-Schein. Ist ein 5 Euro Schein dabei, ersetze diesen durch drei 2 Euro Stücke. Damit ist die Induktion geschlossen.

Gruß,

Küstenkind




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