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Analysis » Komplexe Zahlen » Ein Abschätzungsproblem
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Beruf Ein Abschätzungsproblem
sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-20

Hallo zusammen,

Auf der offenen Einheitskreisscheibe soll abgeschätzt werden für:

$T_{z_0}(z)=\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}$ und $z_0$ ebenfalls im offenen Einheitskreis:

$T_{z_0}(z)\le 1$


Ich habe eine Musterlösung aber ich verstehe diese nicht.

$|z-z_0|^2-|1-\overline{z_0}z|^2=(|z|^2+|z_0|^2-2Re(\overline{z_0}z))-(1+|z|^2|z_0|^2-2Re(\overline{z_0}z))$

Hier gibt es eine Formel für den Absloutbetrag, die ich bisher nicht kannte.
$|a+b|^2=|a|^2+|b|^2-2Re(ab)$ Ich habe keine Ahnung wo das herkommt und wo überall dies gültig ist.


Weiter folgt: $|z-z_0|^2-|1-\overline{z_0}z|^2=(1-|z_0|^2)(|z|^2-1)<1$


woraus folgt dass $T_{z_0}(z)<1$ auch das verstehe ich nicht.

Wer kann da helfen?



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wessi90 Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20

Moin,
zunächst einmal willst du wohl zeigen, dass $|T_{z_0}(z)|<1$ gilt, da fehlt bei dir der Betrag.

Die Identität für den Betrag leitest du sehr leicht her:
$$|a+b|^2=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})=a\bar{a}+b\bar{b}+a\bar{b}+\bar{a}b$$ Beachte, dass $\bar{a}b=\overline{a\bar{b}}$. Was ergibt denn die Summe einer komplexen Zahl und ihres komplex konjugierten? Im übrigen sollte es natürlich bei dir $|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2 \mathrm{Re}(\bar{a}b)$ heißen, nehme ich an.

Für den Rest überlegst du dir, dass Betrag eines Bruchs genau dann kleiner als 1 ist, wenn der Betrag des Zählers kleiner als der des Nenners ist.



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Hallo Wessi,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

2020-10-20 12:45 - wessi90 in Beitrag No. 1 schreibt:


Die Identität für den Betrag leitest du sehr leicht her:
$$|a+b|^2=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})=a\bar{a}+b\bar{b}+a\bar{b}+\bar{a}b$$ Beachte, dass $\bar{a}b=\overline{a\bar{b}}$.

Dies ist mir irgendwo mal entgangen. Ich muss mir dies mal genauer anschauen.






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wessi90 Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-20

Ich habe meinen Beitrag noch einmal korrigiert, da ich an entscheidender Stelle eine komplexe Konjugation vergessen hatte. Es ist natürlich $|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2 \mathrm{Re}(\bar{a}b)$.



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ja genau.

$z\cdot \overline{z}=|z|$ war mir bekannt.

Habe einfach gerade nicht geschalten dass daraus natürlich für die Summe genauso gilt:
$(a+b)(\overline{a+b})=|a+b|$

Dies ist jetzt klar. Vielen Dank wessi.

Aber noch immer unklar ist mir, weshalb aus:
$|z-z_0|^2-|1-\overline{z_0}z|^2=(1-|z_0|^2)(|z|^2-1)<1$
folgt dass $|T_{z_0}(z)|<1$

Als ob "zähler" minus "nenner" gerechnet würde.



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wessi90 Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-20

Bei dir fehlt ein Quadrat, ansonsten sieht das gut aus.

Du hast einen Bruch, nenne wir ihn $\frac{a}{b}$. Es ist dann also $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$. Dies ist genau dann kleiner als 1, wenn Zähler kleiner ist als der Nenner, also $|a|<|b|$ bzw. $|a|-|b|<0$. Ich vermute einen Tippfehler bei dir, denn da sowohl $z$ als auch $z_0$ im Einheitsball liegen, gilt ja $|z|^2<1$ und $|z_0|^2<1$ und somit $(1-|z_0|^2)>0$ sowie $(|z|^2-1)<0$ Das Produkt beider Zahlen ist folglich kleiner als 0 (plus mal minus ist minus).



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

2020-10-20 17:13 - wessi90 in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei dir fehlt ein Quadrat, ansonsten sieht das gut aus.

Gut aussehen tuts schon, ist aber leider nicht von mir


Bist du sicher dass $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$? in welchen fällen gilt die GLeichung? Ich wäre jetzt da von der Dreiecksungleichung ausgegangen $|\frac{a}{b}|=|a\cdot \frac{1}{b}|\le |a||\frac{1}{b}|$
Aber in vielen fällen wird bestimmt Gleichheit sein.

Aber ja, wenn Zählerbetrag minus Nennerbetrag kleiner Null ist, dann ist der Bruch kleiner eins. Aber es muss
zähler - Nenner $<0$ gelten und nicht zähler - Nenner $<1$



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-20

Hallo

Die Gleichung von wessi sollte immer funktionieren. Sagt dir die Exponentalform etwas?

Gruß Caban



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sulky Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

naja, nicht so mein Tag heute... was stelle ich hier für fragen...?

Aber noch immer verstehe ich nicht, dass $zähler-Nenner<1$ bedeutet



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-21

Hallo

Der eine faktor ist größer 0, der andere kleiner 0, also ist das Produkt kleiner als 0 und damit kleiner als 1.

Gruß Caban



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