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Universität/Hochschule J Erzeugte Unterstrukturen
MePep Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-21

Hallo!

Ich habe eine Frage zu dem Begriff erzeugte Unterstruktur. Erzeugnisse kenne ich nun schon von Vektorräumen und Gruppen, mit der Notation $\langle \{...\} \rangle$. Die Definitionen dieser Erzeugnisse sind alle relativ ähnlich und es hängt oft mit einem Durchschnitt von Mengen zusammen, welche eine bestimmte andere Menge enthalten, und dieser Schnitt die kleinste Menge ist, die diese andere Menge enthält.

Eine Unterstruktur ist so definiert, dass das Universum der Unterstruktur Teilmenge des Universums der Oberstruktur ist und eine Abbildung(Einbettung) zwischen beiden Universen existiert.

Aber was hat es dann immer mit dieser Durchschnitt Bezeichnung auf sich?


Mfg



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-21

Zunächst einmal ist es unnötig, die leere Menge auszuschließen bei der Definition des Erzeugnisses. Es ist sogar in konkreten Anwendungen wichtig, diesen Fall zu betrachten. Die von der leeren Teilmenge erzeugte Unterstruktur ist einfach die kleinste Unterstruktur, die es überhaupt gibt. Bei Ringen nennt man es den Primring (bei Körpern den Primkörper), und dieser hat die Form $\IZ/n\IZ$, wobei $n$ die Charakteristik des Ringes ist. Bei Gruppen ist es einfach die triviale Untergruppe. Mehr zu diesem Thema in meinem Artikel Über die Null, die leere Menge und andere triviale Fälle.

Wenn die Sprache $\mathcal{L}$ leer ist, dann ist eine $\mathcal{L}$-Struktur einfach eine Menge. Jede Teilmenge ist daher auch bereits eine Unterstruktur. Und daher ist auch die von einer Teilmenge erzeugte Unterstruktur einfach eben diese Menge. Hier passiert nichts.

Nun zu den Durchschnitten. Die von einer Teilmenge erzeugte Unterstruktur ist definiert als die kleinste Unterstruktur, die die gegebene Teilmenge enthält. Man muss dann zeigen, dass eine solche Unterstruktur auch tatsächlich existiert. Man sollte Definition und Existenzbeweis voneinander trennen. Jedenfalls kann man die Existenz eben über Durchschnitte beweisen: man betrachtet alle Unterstrukturen, die die gegebene Teilmenge enthalten, und bilden den Durchschnitt über diese Mengenfamilie. Dies ist immer noch eine Unterstruktur, und man kann sich überlegen, dass sie die Definition erfüllt.

Wenn du dir ein interessanteres Beispiel anschauen möchtest: Betrachte einmal die Sprache $\mathcal{L} = \{S^{[1]}\}$ und die $\mathcal{L}$-Struktur $(\IN,x \mapsto x+1)$. Berechne die von $\{n\}$ erzeugte Unterstruktur.



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MePep Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21

2020-10-21 14:44 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Zunächst einmal ist es unnötig, die leere Menge auszuschließen bei der Definition des Erzeugnisses. Es ist sogar in konkreten Anwendungen wichtig, diesen Fall zu betrachten. Die von der leeren Teilmenge erzeugte Unterstruktur ist einfach die kleinste Unterstruktur, die es überhaupt gibt. Bei Ringen nennt man es den Primring (bei Körpern den Primkörper), und dieser hat die Form $\IZ/n\IZ$, wobei $n$ die Charakteristik des Ringes ist. Bei Gruppen ist es einfach die triviale Untergruppe. Mehr zu diesem Thema in meinem Artikel Über die Null, die leere Menge und andere triviale Fälle.

Wenn die Sprache $\mathcal{L}$ leer ist, dann ist eine $\mathcal{L}$-Struktur einfach eine Menge. Jede Teilmenge ist daher auch bereits eine Unterstruktur. Und daher ist auch die von einer Teilmenge erzeugte Unterstruktur einfach eben diese Menge. Hier passiert nichts.

Nun zu den Durchschnitten. Die von einer Teilmenge erzeugte Unterstruktur ist definiert als die kleinste Unterstruktur, die die gegebene Teilmenge enthält. Man muss dann zeigen, dass eine solche Unterstruktur auch tatsächlich existiert. Man sollte Definition und Existenzbeweis voneinander trennen. Jedenfalls kann man die Existenz eben über Durchschnitte beweisen: man betrachtet alle Unterstrukturen, die die gegebene Teilmenge enthalten, und bilden den Durchschnitt über diese Mengenfamilie. Dies ist immer noch eine Unterstruktur, und man kann sich überlegen, dass sie die Definition erfüllt.

Wenn du dir ein interessanteres Beispiel anschauen möchtest: Betrachte einmal die Sprache $\mathcal{L} = \{S^{[1]}\}$ und die $\mathcal{L}$-Struktur $(\IN,x \mapsto x+1)$. Berechne die von $\{n\}$ erzeugte Unterstruktur.

Vielen Dank, ich werde mal über dein Beispiel nachdenken und mich zurückmelden wenn mir etwas dazu einfällt! Deine Erklärung hat auf jeden Fall geholfen, und ziemlich cooler Artikel, da werde ich auch mal mein Auge drauf werfen 😄

Mfg!



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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-22

Sorry, ich muss doch kur noch nachfragen bevor ich damit anfange: Soll $\{n\}$ also einfach eine einelementige Menge mit $n \in \mathbb{N}$ sein?

Mfg



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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-22

Ja.



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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23

Meine erste Idee wäre, dass es sich um die Unterstruktur mit Universum $\mathbb{N} \setminus \{1,...,n-1\}$ und der angegebenen Funktion handelt.

Bin ich auf dem richtigen Weg?



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-23

Fast. Beachte $0 \in \IN$. Und ich würde die Menge dann einfach als $\{n,n+1,\dotsc\}$ oder als $\IN_{\geq n}$ schreiben.



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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23

2020-10-23 13:07 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
Fast. Beachte $0 \in \IN$. Und ich würde die Menge dann einfach als $\{n,n+1,\dotsc\}$ oder als $\IN_{\geq n}$ schreiben.

Also als Ergebnis $\langle \{n\} \rangle$ = $(\mathbb{N}_{\geq n}$, $x \mapsto x + 1)$ ?



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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-23

Ja, genau. Und ist dir klar, wie man $\IN \setminus \{1,\dotsc,n-1\}$ korrigieren muss?



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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24

2020-10-23 17:56 - Triceratops in Beitrag No. 8 schreibt:
Ja, genau. Und ist dir klar, wie man $\IN \setminus \{1,\dotsc,n-1\}$ korrigieren muss?

Wie genau meinst du das? Die Korrektur auf $\mathbb{N}_{\geq n}$? Wenn du das meintest ist es mir klar, ich wusste nur nicht das es so eine schön Kompakte Schreibweise gibt und auch ist mir nie klar ob jetzt $0 \in \mathbb{N}$ oder nicht. Ich studiere Informatik und jedes Semester aufs neue lassen die Profs die 0 weg, nehmen sie hinzu, oder haben eine extra Schreibweise für mit oder ohne ^^

Nur wie würde man denn so etwas beweisen? Also was wäre ein vorgehen, um bei so einer Aufgabe zu begründen:
Dies hier ist, und das bewiesen, die kleinste Menge die die gegebene Menge enthält und Unterstruktur von der gegebenen Struktur ist. Hast du da einen tipp?

(Allgemeiner, wenn man das Erzeugnis einer Menge betrachtet, schließt man diese Menge dann im Prinzip unter den Interpretationen der Funktionen einer Struktur etc. ab und erhält dadurch diese kleinste Menge?)

Vielen Dank nochmal für die fast schon Privatnachhilfe hier ^^

Mfg



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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-24

Es gilt $0 \in \IN$, und es bringt fast nur Nachteile mit sich, das anders festzulegen. Siehe article.php?sid=1906

Also ist auch $0 \in \IN \setminus \{1,\dotsc,n-1\}$, aber wir wollen $0$ nicht im Erzeugnis haben. Also müsste es $\IN \setminus \{0,1,\dotsc,n-1\}$ heißen. Oder eben $\IN_{\geq n}$.

Zum Nachweis: Man zeigt einfach, dass die Definition erfüllt ist. Dass es eine Struktur ist, die $\{n\}$ enthält, sollte klar sein: natürlich ist $\{n\} \subseteq \IN_{\geq n}$, und aus $x \in \IN_{\geq n}$ folgt auch $x+1 \in \IN_{\geq n}$.

Wenn nun $S$ eine Unterstruktur von $(\IN, x \mapsto x+1)$ mit $\{n\} \subseteq S$, also $n \in S$ ist, so haben wir $x \in S \implies x+1 \in S$, sodass vollständige Induktion $\IN_{\geq n} \subseteq S$ zeigt, was zu zeigen war. Genauer gesagt: das ist gerade die Aussage der vollständgigen Induktion (mit Startwert $n$).



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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

2020-10-24 14:09 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Es gilt $0 \in \IN$, und es bringt fast nur Nachteile mit sich, das anders festzulegen. Siehe article.php?sid=1906

Also ist auch $0 \in \IN \setminus \{1,\dotsc,n-1\}$, aber wir wollen $0$ nicht im Erzeugnis haben. Also müsste es $\IN \setminus \{0,1,\dotsc,n-1\}$ heißen. Oder eben $\IN_{\geq n}$.

Zum Nachweis: Man zeigt einfach, dass die Definition erfüllt ist. Dass es eine Struktur ist, die $\{n\}$ enthält, sollte klar sein: natürlich ist $\{n\} \subseteq \IN_{\geq n}$, und aus $x \in \IN_{\geq n}$ folgt auch $x+1 \in \IN_{\geq n}$.

Wenn nun $S$ eine Unterstruktur von $(\IN, x \mapsto x+1)$ mit $\{n\} \subseteq S$, also $n \in S$ ist, so haben wir $x \in S \implies x+1 \in S$, sodass vollständige Induktion $\IN_{\geq n} \subseteq S$ zeigt, was zu zeigen war. Genauer gesagt: das ist gerade die Aussage der vollständgigen Induktion (mit Startwert $n$).

Danke!

Ich habe noch ein Beispiel mitgebracht nur um zu schauen ob meine Intuition jetzt stimmt. Wenn ich $\mathcal{L} = \{+, -, \cdot, 0, 1\}$ betrachte und die Struktur $(\mathbb{Q}, +, -, \cdot, 0, 1)$. Jetzt will ich mich Fragen wie die von den ungeraden natürlichen Zahlen erzeugte Unterstruktur aussehen würde, und meine Antwort wäre $\mathbb{Z}$ als Ring $(\mathbb{Z}, +, -, \cdot, 0, 1)$. Stimmt das?



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Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-25

Ja. In dem Fall ist die von $\{1\}$ erzeugte Struktur bereits $\IZ$. (Man braucht also nicht alle ungeraden Zahlen unbedingt.)



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