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Universität/Hochschule J Teilmenge der Diedergruppe
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 11.04.2020, Mitteilungen: 251, aus: Muri AG, Schweiz
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Themenstart: 2020-10-22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Aufgabe: Ist die Teilmenge $\{x \in D_{2n} \mid x^2 = 1\}$ der Diedergruppe $D_{2n}$ für $n\geq3$ eine Untergruppe von $D_{2n}$?

TIPP: Interpretiere $D_{2n}$ als Isometriegruppe der Ebene $\mathbb{R}^2$ und studiere das Produkt zweier Elemente von $D_{2n}$.

Ich will zeigen, dass die betrachtete Teilmenge keine Untergruppe ist.

Wir definieren $X_{2n}:=\{x \in D_{2n} \mid x^2 = 1\}$. Es ist $D_{2n} \cong O(2)$ (HIER BIN ICH MIR NICHT SICHER); die Diedergruppe ist isomorph zur Orthogonalen Gruppe (also der Menge aller längentreuen Spiegelungen und Drehungen im $\mathbb{R}^2$ bezüglich des Ursprungs). Damit ist $X_{2n}$ die Menge aller Spiegelungen, und aus den Serien zu Lineare Algebra I wissen wir, dass die Komposition zweier Spiegelungen in $\mathbb{R}^2$ eine Drehung ergeben, i.e. dass
\[
\begin{align*}
    A,B \in O(2),\; \det(A)=\det(B)=-1
    \implies \det(AB)=+1
    \implies AB \in SO(2).
\end{align*}
\] Damit ist $AB$ eine Drehmatrix und keine Spiegelungsmatrix; ergo ist $X_{2n}$ nicht abgeschlossen.

Ich zweifle noch an dieser Argumentation...🤔
\(\endgroup\)


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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5263, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-22

Hallo Phoensie,

zu deiner Argumentation kann ich nichts sagen (weil ich da selbst unsicher bin). Ich tendiere aber dazu, die angenommenen Isomorphie als falsch anzusehen.

Spontan ist mir folgende Idee gekommen: deine Annahme (dass die Teilmenge keine Untergruppe sein kann) ist richtig. Wenn man den Hinweis einmal wortwörtlich nimmt, dann geht es um ein regelmäßges n-Eck und dessen Isometrien. Also um die Frage, wie viele Drehungen und Spiegelungen* es gibt, die zweimal hintereinander ausgeführt die Identität ergeben. Da sollte doch etwas mit dem Satz von Lagrange zu machen sein...

Der Hinweis könnte eventuell auch eine solche Überlegung nahelegen (ich kann mich aber täuschen).

* die das Vieleck auf sich selbst abbilden


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]



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hippias Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Mitglied seit: 06.01.2017, Mitteilungen: 258
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-23

Die Isomorphie ist falsch, die Beweisidee aber richtig; die Isomorphie wurde ja auch gar nicht verwendet, sondern nur eine Aussage über die Determinate von Spiegelungen gemacht.

Jedoch sollte noch ein Gedanke daran verschwendet werden, dass nicht sämtliche Elemente aus $X_{2n}$ Spiegelungen sein müssen... die Überlegung muss also noch präzisiert werden.



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4976, aus: Berlin
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-23

Vorbemerkung: Die Bezeichnung $D_{2n}$ für die Diedergruppe mit $2n$ Elementen ist unglücklich. Man schreibt ja auch nicht $S_{n!}$ für die symmetrische Gruppe mit $n!$ Elementen. Man schreibt $S_n$ und entsprechend auch $D_n$. In der Präsentation von $D_n$ als $\langle x,y : x^n = y^2 = (xy)^2 = 1 \rangle$ taucht auch kein $2n$ auf; hier ist $x$ eine Drehung und $y$ eine Spiegelung. Ich werde entsprechend auch $D_n$ schreiben, wie es allgemein (aber offenbar immer noch nicht flächendeckend) üblich ist. Natürlich ist $D_n$ nicht zu $O(2)$ isomorph. Das sieht man bereits daran, dass $O(2)$ eine unendliche Gruppe ist. Der Hinweis in der Aufgabenstellung, $D_n$ als Isometriegruppe der Ebene zu interpretieren, ist entsprechend irreführend. Es ist $D_n$ die Isometriegruppe des regelmäßigen $n$-Ecks.

Jetzt zur Aufgabe. Jedes Element von $D_n$ hat die Form $x^k$ mit eindeutigem $0 \leq k < n$ oder $x^k y$ mit eindeutigem $0 \leq k < n$. Jetzt rechnet man das Quadrat jeweils aus und vereinfacht die Bedingung, dass es $ 1$ sein soll:

$(x^k)^2 = x^{2k}$ ist $1$ genau dann, wenn $n \mid 2k$. Wegen $0 \leq k < n$ ist $2k < 2n$, sodass für $2k$ nur $0$ oder $n$ in Frage kommen. Wenn $2k=0$, ist $k=0$, und wenn $2k=n$, ist $n$ gerade und $k$ eindeutig bestimmt als $n/2$.

$(x^k y)^2 = x^k y x^k y = x^k x^{-k} y y$ ist immer $1$.

Fazit: Wenn $n$ gerade ist, dann ist die Menge $\{1,x^{n/2}\} \cup \{x^k y : 0 \leq k < n\}$, und wenn $n$ ungerade ist, dann ist die Menge $\{1\} \cup \{x^k y : 0 \leq k < n\}$.

Nun sieht man aber, woran die multiplikative Abgeschlossenheit scheitert (wenn $n \geq 3$): Es gilt nämlich $x^k y \cdot x^m y = x^{k-m}$. Konkret ist $x^2 y \cdot x y = x$ nicht in der Menge enthalten.

Für $n \leq 2$ ist die Menge allerdings schon die gesamte Diedergruppe und damit eine Untergruppe: Es gilt $D_2 \cong C_2 \times C_2$ und $D_1 \cong C_2$.



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber Triceratops

Danke für die Klarstellung; der Ratschlag ist wirklich ein wenig doof formuliert. Ich hoffe mal, meine Dozentin passt das an für zukünftige Jahrgänge.

Ich staune wirklich, wie ausgeklügelt die Argumentation hier ausfällt. Dein Beweis ist verständlich (bis auf eines: warum gilt $x^k \in \{a \in D_{n} \mid a^2 = 1\} \iff n|2k$ ??? $x$ ist hierbei deine Drehung) und lässt man den "Tipp" weg, sehe ich, wie dein Argument funktioniert. Super Beweisführung!

Sind die eckigen Klammern $D_{2n}=\langle...\rangle$ eine Art Erzeugernotation? Meine Dozentin hat da mit Indizes gearbeitet (sie legt wirklich wenig Wert auf Kohärenz zum Rest der Mathewelt, finde ich...). Beispielsweise für eine zyklische Gruppe $G_a:=\{a,a^2,a^3,\ldots,a^{\mathrm{ord}(a)}\}$.

Ich habe ihr mal eine Nachricht geschickt, denn im Internet finde ich ausschliesslich deine Notation für die Diedergruppe (also $D_n$, wenn $\mathrm{ord}(D_n)=2n$).

Die Fälle für $n=1$ und $n=2$ haben wir in bereits vor zwei Wochen (in anderem Kontext) behandeln müssen - dass hier $n \geq 3$ verlangt wird, ist also verständlich für mich.👍

Liebe Grüsse
Phoensie
\(\endgroup\)


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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4976, aus: Berlin
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-23

Die Ordnung von $x$ ist $n$, und die Ordnung von $x$ ist allgemein definiert durch

$x^d = 1 \iff \mathrm{ord}(x) \mid d. \quad (\ast)$
 
Siehe hier: article.php?sid=1604

Ok üblicherweise wird die Ordnung anders definiert, aber der Artikel erklärt, warum die obige Definition besser ist, und zeigt auch die Äquivalenz zur üblichen Definition auf. Genauer gesagt ist das Beispiel hier ein erneuter Beleg dafür, warum die obige Definition der Ordnung besser ist: man braucht $(\ast)$ ständig, und wenn man die andere Definition benutzt, vergisst man $(\ast)$ viel zu leicht.



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23

Ok, danke dir!



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-23

2020-10-23 21:32 - Phoensie in Beitrag No. 4 schreibt:
Sind die eckigen Klammern $D_{2n}=\langle...\rangle$ eine Art Erzeugernotation?

Ja, aber hier werden noch Relationen hinzugefügt. Es handelt sich wie gesagt um eine Präsentation. Siehe



2020-10-23 21:32 - Phoensie in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich staune wirklich, wie ausgeklügelt die Argumentation hier ausfällt.

Ich rechne wirklich nur herum und halte mich daran, was ich in diesem Artikel beschrieben habe.



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