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Universität/Hochschule J Unabhängigkeit der Wronski-Spaltenvektoren
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 437
Wohnort: Muri AG, Schweiz
  Themenstart: 2020-10-22

Hallöchen miteinander! Wir betrachten eine gewöhnliche Differentialgleichung mit homogenem Fundamentalsystem $\{\varphi_1,\ldots,\varphi_n\} \subset$ von Funktionen $I \to \mathbb{R}$, mit $I \subseteq \mathbb{R}$. Definition. Die Wronski-Matrix der Abbildungen $\varphi_1,\ldots,\varphi_n:I \to \mathbb{R}$ sei die $n \times n$-Matrix \[ \begin{align*} W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t) := \begin{pmatrix} \varphi_1 & \cdots & \varphi_n \\ \dot{\varphi}_1 & \cdots & \dot{\varphi}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \varphi_1^{(n-1)} & \cdots & \varphi_n^{(n-1)} \\ \end{pmatrix} \end{align*} \] Aufgabe: $W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t)$ ist invertierbar für alle $t\in I$. Beweisansatz. Um zu zeigen, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig sind für ein gegebenes $t \in I$, soll ich die Evaluationsabbildung $\mathrm{eval}_t: \mathcal{L}_{\mathrm{hom}} \to \mathbb{R}^n$, definiert durch \[ \begin{align*} \mathrm{eval}_t(\varphi) = \left(\varphi(t),\dot{\varphi}(t),\ldots,\varphi^{(n-1)}(t)\right) \end{align*} \] betrachten. Für die Linearkombination der Spaltenvektoren setzen wir \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^n \lambda_k(t) \mathrm{eval}_t(\varphi_k) = 0 \end{align*} \] mit Koeffizienten $\lambda_k: I \to \mathbb{R}, \forall k.$ Zu zeigen ist nun, dass hieraus $\lambda_1(t) \equiv \ldots \equiv \lambda_n(t) \equiv 0$ folgt. Doch wie mache ich das?


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Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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