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Universität/Hochschule Intuition isotroper Vektoren
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-23


Hey,

sei $k$ ein Körper mit $\operatorname{char}{k} \neq 2$, $V$ ein $k$-Vektorraum und $Q : V \times V \to k$ eine quadratische Form. Ein quadratischer Modul $(V,Q)$ ist ein Vektorraum mit einer quadratischen Form.

Ein Element $x \in V$ heißt isotrop, wenn $Q(x) = 0$ gilt.

Gibt es eine Möglichkeit, sich solche Elemente vorzustellen - z.B. geometrisch?

Sei $\langle x,y \rangle = \frac12(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))$ die zu $Q$ korrespondierende symmetrische Bilinearform. Ein quadratischer Modul mit einer Basis aus zwei isotropen Elementen $x,y$ mit $\langle x,y \rangle \neq 0$ nennt man auch hyperbolische Ebene.

Vielleicht gibt es also einen Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie? Leider kann ich (derzeit) keine hyperbolische Geometrie, also weiß ich es leider nicht.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

einen Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie kann ich nicht nennen, da ich mich da auch nicht gut auskenne.

Vielleicht kommt die Bezeichnung "hyperbolische Ebene" aber einfach hiervon:
Für $k=\IR$ ist jede quadratische Form auf $\IR^2$, für die es eine isotrope Basis gibt, kongruent zu $Q(x,y) = x^2-y^2$.
Für festes $c\in \IR\setminus\{0\}$ ist dann $\{(x,y)\in \IR^2\mid Q(x,y)=c\}$ eine Hyperbel.
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23


Danke, Nuramon! Ich denke auch, dass die Bezeichnung davon kommt.

Allerdings weiß ich leider noch nicht, wie man über einzelne isotrope Elemente denken sollte.


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Also rein geometrisch sind die isotropen Vektoren $(x,y)$ dann ja diejenigen mit $x^2-y^2=0$, also die die auf der entarteten Hyperbel $Q(x,y)=0$ liegen.
Ob das die "richtige" Art ist über isotrope Vektoren nachzudenken, kann ich nicht sagen.
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23


Wenn es keine isotrope Basis für $\mathbb{R}^2$ existiert, dann gilt das aber nicht, oder?

Man kann ja etwa $Q(x,y) = x^2$ auf $\mathbb{R}^2$ wählen, dann wäre $(0,1)$ isotrop. Es existiert aber keine isotrope Basis, d.h. $Q$ ist nicht äquivalent zu $x^2-y^2$.

Wenn eine isotrope Basis existiert, ist es aber ein interessanter Kommentar, über den ich so noch nicht nachgedacht habe. Schließlich ist die geometrische Form $x^2-y^2 = 0$ eher leicht. Danke!

(Die Abhängigkeit von der Wahl der isotropen Basis könnte bei einem $\mathbb{R}^n$ mit $n > 2$ allerdings auch ein wenig anstrengend werden.)


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