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Universität/Hochschule J Linkstranslation als Gruppenwirkung
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-23
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Guten Abend,

Ich bin an einer Aufgabe dran zum Thema Linkstranslation. Vorab zwei Anmerkungen:

Notation.
Wirkt eine Gruppe $G$ auf eine Menge $X$ (von links), dann sei der Stabilisator des Elements $x \in X$ bezüglich der Gruppenwirkung (notiert mit $\triangleright$) notiert als $\mathrm{Stab}_{x}(G)=\{g \in G \mid g \triangleright x = x\}$.

Definition.
Eine Gruppenoperation heisst treu, wenn nur das neutrale Element $1 \in G$ der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Also wenn
\[
\bigcap_{x \in X}\mathrm{Stab}_x(G) = \{1\}
\]
Aufgabe.
Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Untergruppe von $G$. Zeige, dass $G$ durch Linkstranslation $g \triangleright xH = (gx)H$ transitiv auf $G/H$ operiert und beschreibe $\mathrm{Stab}_{xH}(G)$. Ist die Operation \textit{treu}?

Mein Erkenntnisstand.
Ich konnte zeigen, dass die Linkstranslation eine Gruppenwirkung auf $G/H$ ist. Ich konnte zeigen, dass die Linkstranslation transitiv ist. Für den Stabilisator erhalte ich
\[
\begin{alignat*}{3}
        \mathrm{Stab}_{xH}(G)
        &= \{ g \in G \mid g \triangleright xH = xH \} && \color{red}{\text{, nach Definition des Stabilisators.}} \\
        &= \{ g \in G \mid (gx)H = xH \} && \color{red}{\text{, nach Definition der Gruppenwirkung.}} \\
        &= \{ g \in G \mid (gx)^{-1}x \in H \} && \color{red}{\text{, nach Definition von Nebenklassen.}} \\
        &= \{ g \in G \mid x^{-1}g^{-1}x \in H \} \\
    \end{alignat*}
\] Hier komme ich nicht mehr weiter. Habt ihr eine Idee?
\(\endgroup\)


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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23

Das ist soweit richtig. Allerdings ist es einfacher, wenn man nicht mit $(gx)^{-1} x \in H$, sondern mit $x^{-1} (gx) \in H$ weiterarbeitet (diese Aussagen sind äquivalent, beide sagen $gxH = xH$), weil hier direkt $g$ und nicht $g^{-1}$ vorkommt, und wir ja etwas über $g$ wissen wollen.

Es gilt also $x^{-1} g x \in H$. Multiplizieren wir von links mit $x$ und von rechts mit $x^{-1}$, sehen wir, dass dies äquivalent zu $g \in x H x^{-1}$ ist. Der Stabilisator ist also $x H x^{-1}$.

Nun kannst du auch den Kern der Wirkung (der Durchschnitt aller Stabilisatoren) berechnen und sehen, dass er in der Regel nicht-trivial ist. Beachte zum Beispiel den Fall, dass $H$ ein Normalteiler ist.



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-23
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Danke Triceratops für deinen Hinweis. Das habe ich gut nachvollziehen können.😄👍

Gehen wir also nun davon aus, dass $H < G$ zudem ein Normalteiler sei, d.h. $H \triangleleft G$. Wir bilden den Durchschnitt aller Stabilisatoren von $G/H$ unter der Linkstranslation und erhalten
\[
\begin{alignat*}{3}
        \bigcap_{xH \in G/H} \mathrm{Stab}_{xH}(G)
        &= \bigcap_{x \in G} xHx^{-1} && \color{red}{\text{, nach vorheriger Betrachtung des Stabilisators.}} \\
        &= \bigcap_{x \in G} \{xhx^{-1} \mid h \in H\} && \color{red}{\text{, nach Definition von }xHx^{-1}.}\\
    \end{alignat*}
\] Weil $H < G$ eine Untergruppe ist, liegt sicher mal das neutrale Element in diesem Durchschnitt. Wenn $H \triangleleft G$ ist, dann ist der Schnitt hier wieder eine Teilmenge von $H$. Damit gilt sicher
\[
\begin{alignat*}{3}
        \{1\}
\subseteq \bigcap_{xH \in G/H} \mathrm{Stab}_{xH}(G)
        \subseteq H.
    \end{alignat*}
\] Ich bin versucht zu sagen, dass die Menge tatsächlich ganz $H$ ist, finde aber kein Argument dafür...🤔
\(\endgroup\)


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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24

$H$ ist Normalteiler $\iff$ $xHx^{-1} = H$ für alle $x$.



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Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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