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Universität/Hochschule J Gruppen und Hom (Knobelei aus altem Thread von Gockel)
Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-24

Hallo,
ich und Kezer versuchen schon seit längerem die Knobelaufgabe von Gockel hier, jedoch ohne Erfolg.
Kezer konnte zeigen, dass die beiden Gruppen gleichmächtig sind.
Wir haben versucht einen injektiven Homomorphismus zu konstruieren, jedoch ohne Erfolg.
1) Habt ihr paar Hinweise, wie man die Aufgaben sonst rangehen kann?

Und wenn wir schon dabei sind:
2) Gibt es eine allgemeinere kategorientheoretische Version? Vielleicht, wenn die Morphismenmenge endlich ist?
3) Gilt die Aussage auch für unendliche Gruppen?
4) Was wenn man in der Aufgabe \(\operatorname{Hom}(X,A)\) durch \(\operatorname{Hom}(A,X)\) ersetzt, gilt es dann noch immer?

Viele Grüße
Red



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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-24

Zum Festhalten: Auf MSE/349855 haben wir einen Beweis gefunden.

Sei $h(X,A)$ die Anzahl der Homomorphismen $X \to A$ und $i(X,A)$ die Anzahl der injektiven Homomorphismen $X \to A$. Indem wir durch den Kern teilen, erhalten wir $$ h(X,A) = \sum_{N \trianglelefteq X} i(X/N,A).$$ Wir wollen $i(X,A) = i(X,B)$ für alle endlichen Gruppen $X$ zeigen.

Induktion nach $|X|$. Für $X = \{e \}$ ist es klar. Der Induktionsschritt folgt über $$ i(X,A) + \sum_{\substack{N \trianglelefteq X \\ N \neq \{e \}}} i(X/N, A) = h(X,A) = h(X,B) = i(X,B) + \sum_{\substack{N \trianglelefteq X \\ N \neq \{e \}}} i(X/N, B). $$ Nach Induktionsvoraussetzung ist $i(X/N, A) =  i(X/N, B)$ für $N \neq \{e \}$. Also $i(X,A) = i(X,B)$.

Nun ist $i(A,B) = i(A,A) > 0$, wir sind also fertig. $\square$

Mein Argument für $|A| = |B|$ ging übrigens so: Wegen $h(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, A) = h(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, B)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ ist die Anzahl der Ordnung $n$ Elemente in den Gruppen gleich. Daraus folgt bereits $|A| = |B|$. Allerdings reicht diese Beobachtung nicht für die Aufgabe nach MO/39848.

Andere Ideen oder Antworten auf die restlichen Fragen würden mich aber auch noch interessieren!


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-24

Noch einmal der Vollständigkeit halber hier die Aussage, um die es geht:

Sind $A,B$ endliche Gruppen mit $\# \mathrm{Hom}(X,A) = \# \mathrm{Hom}(X,B)$ für alle endlichen Gruppen $X$, so ist $A \cong B$.

Allgemeiner sei das Pseudo-Yoneda-Lemma für eine Kategorie $\mathcal{C}$ die folgende Aussage: Sind $A,B \in \mathcal{C}$ mit $\# \mathrm{Hom}(X,A) = \# \mathrm{Hom}(X,B)$ für alle $X \in \mathcal{C}$, so gilt $A \cong B$.

Die dazu duale Aussage ist: Gilt $\# \mathrm{Hom}(A,X) = \# \mathrm{Hom}(B,X)$ für alle $X \in \mathcal{C}$, so ist $A \cong B$. Das ist einfach das Pseudo-Yoneda-Lemma für $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$.

Die Kategorie der endlichen Gruppen erfüllt also nach dem obigen Beweis das Pseudo-Yoneda-Lemma. Der Beweis funktioniert allgemeiner für die Kategorie der endlichen algebraischen Strukturen eines festen Typs. Die Normalteiler sollte man dabei durch Kongruenzrelationen ersetzen. Die Idee ist grob gesagt wie oben, dass man das (regulärer Epi, Mono)-Faktorisierungssystem nutzt (die regulären Epis sind hier einfach die surjektiven Homomorphismen), um induktiv $\# \mathrm{Mono}(X,A) = \# \mathrm{Mono}(X,B)$ zu folgern. Es gibt also Monomorphismen $A \to B$ und $B \to A$. Die zugrunde liegenden Mengen von $A$ und $B$ sind also gleichmächtig und endlich. Daher muss $A \to B$ bereits bijektiv und damit ein Isomorphismus sein.

Der Beweis lässt sich für endliche algebraische Strukturen eines festen Typs ebenfalls abwandeln zu einem Beweis für das duale Pseudo-Yoneda-Lemma. Dafür zeigt man $\# \mathrm{regEpi}(A,X) = \# \mathrm{regEpi}(B,X)$ in der gleichen Art und Weise. Siehe MP/204651 für den Spezialfall von Ringen. Der allgemeine Fall ist Aufgabe 5.27 im Buch Einführung in die Kategorientheorie.

Aufgabe 5.27 schreibt:
Sei $\tau$ ein Typ einer algebraischen Struktur. Sei $\mathsf{S}(\tau)_{\mathrm{fin}}$ die Kategorie der Strukturen vom Typ $\tau$, deren zugrunde liegende Menge endlich ist. Zeige, dass diese Kategorie die folgende Eigenschaft besitzt: Sind $A,B \in \mathsf{S}(\tau)_{\mathrm{fin}}$ mit $\mathrm{Hom}(A,T) \cong \mathrm{Hom}(B,T)$ für alle $T \in \mathsf{S}(\tau)_{\mathrm{fin}}$, so gilt $A \cong B$. Hinweis: Faktorisiere die Homomorphismen über ihr Bild. Zeige damit induktiv, dass $A$ und $B$ dieselbe Anzahl von surjektiven Homomorphismen nach $T$ zulassen.
   
Hier gingen zwar nun einige Dinge ein, die speziell für algebraische Kategorien gelten, aber man kann das Setting noch etwas verallgemeinern. Endliche Morphismenmengen reichen aber nicht aus. Es gibt ein Paper dazu, was ich aber erst einmal wiederfinden muss.



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24

MSE/614496 hat Beweise für den Fall von endlichen Gruppen, Gegenbeispiele für unendliche Gruppen (siehe auch MSE/1306326), für allgemeine algebraische Strukturen die Referenz: L. Lovász, Operations with structures, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18 (1967) 321-328, pdf, sowie eine kategorientheoretische Verallgemeinerung:
 
Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie mit den folgenden Eigenschaften:

• Für alle $G,H \in \mathcal{C}$ ist $\mathrm{Hom}(G,H)$ endlich.
• Jedes $G \in \mathcal{C}$ hat nur endlich viele Unterobjekte.
• Jedes Objekt $G \in \mathcal{C}$ hat eine "Größe" $|G| \in \IN$ derart, dass für jedes echte Unterobjekt $H < G$ auch $|H| < |G|$ gilt, und entsprechend auch für echte Quotienten.
• Jeder Morphismus faktorisiert im Wesentlichen eindeutig als ein Epimorphismus gefolgt von einem Monomorphismus.

Dann gilt das Pseudo-Yoneda-Lemma für $\mathcal{C}$.

Natürlich kann man diese Aussage dann auch dualisieren (das ist übrigens einer der größten Vorzüge von kategorientheoretischen Verallgemeinerungen), um ein Kriterium für das duale Pseudo-Yoneda-Lemma zu bekommen.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25

Tolle Antwort, danke sehr! Damit sind alle Fragen beantwortet 🙂


• Für alle $G,H \in \mathcal{C}$ ist $\mathrm{Hom}(X,Y)$ endlich.
Hier ist ein Tippfehler.


• Jedes $G \in \mathcal{C}$ hat nur endlich viele Unterobjekte.
Bis auf Isomorphie meinst du wahrscheinlich?







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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-25

1) Danke.
2) Die Definition eines Unterobjektes ist (üblicherweise) schon so gemacht, dass isomorphe Monomorphismen miteinander identifiziert werden.



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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