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Strukturen und Algebra » Ringe » Konstruktion eines Isomorphismus zwischen R:=ℚ[X]/(X³-5X+3) und kommutativen Unteralgebra A
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Universität/Hochschule J Konstruktion eines Isomorphismus zwischen R:=ℚ[X]/(X³-5X+3) und kommutativen Unteralgebra A
Amar
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26


Es ist $R = \IQ[X]/\langle X^3-5X+3 \rangle$ eine $\IQ$-Algebra mit der $\IQ$-Basis $1,X,X^2$ (bzw. die Restklassen davon). Denn allgemein gilt: wenn $K$ ein Körper und $f \in K[T]$ vom Grad $n$ ist, dann hat die $K$-Algebra $K[X]/\langle f \rangle$ als $K$-Basis die Restklassen von $1,X,\dotsc,X^{n-1}$. Der zugrunde liegende $\IQ$-Vektorraum von $R$ ist daher zu $\IQ^3$ isomorph. (Beachte, dass das nicht bedeutet, dass $R$ zu $\IQ^3$ mit der "diagonalen" Multiplikation isomorph ist, wie du es vermutet hast. Das stimmt auch gar nicht.) Die restlichen Überlegungen kann man allgemein anstellen (was hier von Vorteil ist, weil man sich dann von unwesentlichen Details nicht ablenken lassen kann):

Sei $A$ eine $K$-Algebra. Sei $V$ der zugrunde liegende $K$-Vektorraum von $A$ (oftmals einfach mit $A$ bezeichnet, aber streng genommen handelt es sich um unterschiedliche Objekte, weil $V$ keine Multiplikation "kennt"). Dann haben wir die $K$-Algebra $\mathrm{End}(V)$ der Endomorphismen von $V$. Es gibt einen Homomorphismus von Algebren

$\varphi : A \to \mathrm{End}(V),~ a \mapsto (b \mapsto ab).$

Mache dir klar, dass $\varphi$ tatsächlich wohldefiniert ist und ein Homomorphismus von Algebren ist. Das ist gerade die Wirkung von $A$ auf $V$ mittels Linksmultiplikation.

Algebren haben hier immer eine Eins, was dazu führt, dass $\varphi$ injektiv ist: Wenn $a \in A$ im Kern ist, bedeutet das $ab = 0$ für alle $b \in A$, also insbesondere für $b = 1$, sodass $a = 0$. Also ist $A$ zu einer Unteralgebra von $\mathrm{End}(V)$ isomorph, nämlich dem Bild von $\varphi$.

Wenn $A$ nun $n$-dimensional ist, so meint man damit eigentlich, dass $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum ist, also $V \cong K^n$. Wir erhalten daraus einen Isomorphismus von Algebren

$\mathrm{End}(V) \cong \mathrm{End}(K^n) \cong M_n(K).$
 
Insbesondere ist $A$ zu einer Unteralgebra von $M_n(K)$ isomorph.

Wenn $A$ kommutativ ist, ist diese Unteralgebra natürlich ebenfalls kommutativ, einfach weil sie zu $A$ isomorph ist.

Nun kann man sich fragen, wie diese Unteralgebra konkret aussieht. Sei dazu $b_1,\dotsc,b_n$ eine $K$-Basis von $V$ und schreibe

$b_i \cdot b_j = \sum_p c^{ij}_p b_p$

mit Koeffizienten $c^{ij}_p \in K$. Man nennt sie die Strukturkonstanten der Algebra bezüglich der Basis. Dann ist $\varphi(b_i)$ also die lineare Abbildung $V \to V$, die durch $b_j \mapsto \sum_p c^{ij}_p b_p$ festgelegt ist. Ihre Darstellungsmatrix ist also $(c^{ij}_p)_{p,j}$. Die zu $A$ isomorphe Unteralgebra von $M_n(K)$ wird als $K$-Vektorraum von diesen Darstellungsmatrizen erzeugt.

Wenn $A$ als $K$-Algebra bereits etwa von einem $b_i$ erzeugt wird, dann wird die Unteralgebra von $M_n(K)$ auch bereits von der zugehörigen Darstellungsmatrix als $K$-Algebra erzeugt (weil $\varphi$ ein Homomorphismus von Algebren ist). So gelingt auch in dem Beispiel eine sehr kurze Beschreibung:

Wir haben $K = \IQ$, $A = \IQ[X]/\langle X^3-5X+3 \rangle$. Wir müssen die Darstellungsmatrix von $\varphi(X)$ in der Basis $1,X,X^2$ (gemeint sind die Restklassen) bestimmen. Wir berechnen dazu $X \cdot 1 = X$, $X \cdot X = X^2$, $X \cdot X^2 = X^3 = -3 + 5X$ und erhalten als Matrix

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 5 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Also ist $A$ isomorph zur davon erzeugten Unteralgebra von $M_3(\IQ)$.

Allgemeiner gilt für ein normiertes Polynom $f \in K[X]$ vom Grad $n$, dass $A = K[X]/\langle f \rangle$ zur Unteralgebra von $M_n(K)$ isomorph ist, die von der Begleitmatrix von $f$ erzeugt wird. Denn diese Begleitmatrix ist nichts weiter als die Darstellungsmatrix von $\varphi(X)$.

Eine gute Übungsaufgabe ist es, herauszufinden, ob $A$ sogar zu einer Unteralgebra von $M_2(\IQ)$ isomorph ist.



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