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Universität/Hochschule Vektorgeometrie: Abstand Punkt – Gerade auf verschiedene Arten
traveller Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-26

Hallo,

Ich hab mir gerade überlegt, wie viele Methoden ich kenne, um den Abstand eines Punktes $Q$ von einer Geraden $g:\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t\cdot\vec{u}$ zu berechnen und hab gleich noch ein paar mehr gefunden:

1. Die Lot-Fusspunktmethode: Die Bedingung $\overrightarrow{XQ}\cdot\vec{u}=0$ führt auf eine lineare Gleichung in $t$.
2. Mit Vektorprodukt: Die Fläche des von $\overrightarrow{PQ}$ und $\vec{u}$ aufgespannten Parallelogramms lässt sich auf zwei Arten berechnen:
$$\left|\overrightarrow{PQ}\times\vec{u}\right|=A=d\cdot\left|\vec{u}\right|\enspace,$$ wobei $d$ die Höhe des Parallelogramms und damit auch der gesuchte Abstand ist.
3. Man betrachte die Ebenenschar mit $\vec{u}$ als Normalenvektor und finde diejenige, welche auch $P$ enthält. Der Durchstosspunkt von $g$ durch diese Ebene ist der Lot-Fusspunkt.
4. $\left|\overrightarrow{XQ}\right|^2=\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OX}\right|^2$ führt auf eine quadratische Funktion in $t$, welche man minimieren kann.
5. Sei $\vec{u}_0=\frac{\vec{u}}{\left|\vec{u}\right|}$. Dann sieht man mit einer Skizze schnell, dass aus dem Satz von Pythagoras folgt
$$d=\sqrt{\overrightarrow{PQ}^2-\left(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{u}_0\right)^2}\enspace .$$
Natürlich sind diese Wege nicht alle voneinander unabhängig, 2 und 5 etwa gehen über Vektorprodukt-Skalarprodukt-Zusammenhänge auseinander hervor. Oder 1 kriegt man aus 4 durch Ableiten. Trotzdem fand ich die Anzahl Möglichkeiten interessant, gibt es vielleicht noch mehr?



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Caban Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 06.09.2018, Mitteilungen: 1341, aus: Brennpunkt einer Parabel
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26

Hallo

Man kann einen Punkt Q auf der Gerade wählen. Nun bildet man den Geradenpunkt S für den gilt SP=PQ. Der Mittelpunkt von S und Q sei M. Berechnet wird nun der Abstand PM.

Gruß Caban




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