|
Autor |
Poynting-Vektoren im zeitlichen Mittel |
|
Phoensie
Aktiv  Dabei seit: 11.04.2020 Mitteilungen: 358
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Hallo miteinander
Ich habe zu zwei elektromagnetischen Feldszenarien $\vec{E}_1,\vec{B}_1$ und $\vec{E}_2,\vec{B}_2$ mit Poynting-Vektoren $\vec{S}_1$ und $\vec{S_2}$ gegeben. Dabei haben wir gelernt, dass letzterer als
\[
\vec{S} := \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})
\]
definiert wird. Nun soll ich den "zeitlichen Mittelwert" meiner beiden Poynting-Vektoren ausrechnen, finde aber in meinen Vorlesungsnotizen keine Formel dazu. Habt ihr einen Ansatz, den ich verwenden könnte?
(PS: die Indizes weisen jeweils auf die Teilaufgabe hin; Vektorindizes 1 haben also nichts mit Vektorindizes 2 zu tun...)😉\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8168
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27
|
Hallo!
 
Um den zeitlichen Mittelwert von S^> berechnen zu können, müssen zunächst mal S^>, bzw. die Felder E^> und B^> als Funktion der Zeit t gegeben sein. Der zeitliche Mittelwert braket(f(t)) einer zeitabhängigen Größe f(t), genommen über ein Zeitintervall [0,T] ist definiert zu braket(f(t))=1/T int(f(t),t,0,T) Beachte, daß S^>, bzw. E^> und B^> sehr oft als komplexe Größe gegeben sind. Dann bestimmt man entweder den zeitlichen Mittelwert des Realteiles von S^>, oder den zeitlichen Mittelwert des Betragsquadrates von S^>, der proportional zur Intensität der elektromagnetischen Welle ist. Daher: Wie lautet in Deinem Fall die Zeitabhängigkeit von S^>, oder noch besser: Du schreibst den Originalwortlaut der Aufgabenstellung komplett hier auf, :\-)
Grüße
Juergen
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Phoensie
Aktiv  Dabei seit: 11.04.2020 Mitteilungen: 358
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Ausgangslage:
Wir betrachten zwei Arten von transversalen elektromagnetischen Wellen im Vakuum:
\[
\begin{align}
\vec{E}_1 &= \begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}\sin(kz-\omega t), \\
\vec{E}_2 &= E_0 \left( \cos(kz-\omega t)\hat{x} + \sin(kz-\omega t)\hat{y} \right) = \begin{pmatrix}E_0\cos(kz-\omega t) \\ E_0\sin(kz-\omega t) \\ 0\end{pmatrix}.
\end{align}
\]
Berechne für $j \in \{1,2\}$ die Magnetfelder $\vec{B}_j$, die Poynting-Vektoren $\vec{S}_j$ sowie den zeitlichen Mittelwert $\langle \vec{S}_j \rangle$.
Mit deinem Ansatz:
Ich habe für meinen ersten Poynting-Vektor den Folgenden:
\[
\vec{S}_1(\vec{r},t)
= \frac{k\sin^2(kz - \omega t)}{\mu_0\omega}
\begin{pmatrix} -E_{0,x}E_{0,z} \\ -E_{0,y}E_{0,z} \\ E_{0,x}^2 + E_{0,y}^2 \end{pmatrix}
\]
wobei $\begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}$ ein konstanter Vektor ist.
Dann ist mit deiner Formel
\[
\langle \vec{S}_1 \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \vec{S}_1(\vec{r},t) \mathrm{d}t
\]
Stimmt das so weit? Das $T$ ist ja nicht bekannt...🤔\(\endgroup\)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Spock
Senior  Dabei seit: 25.04.2002 Mitteilungen: 8168
Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27
|
Hallo!
Nur so nebenbei:
2020-10-27 13:53 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Ausgangslage:
Wir betrachten zwei Arten von transversalen elektromagnetischen Wellen im Vakuum:
\[
\begin{align}
\vec{E}_1 &= \begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}\sin(kz-\omega t)
\end{align}
\]
 
Wenn die Aufgabe tatsächlich transversale Wellen im Vakuum meint, und das Argument im Sinus andeutet, daß sich E^>_1 in z\-Richtung ausbreitet, dann ist E^>_1 keine transversale Welle, es sei denn, es steht irgendwo noch E_0z=0. Fragen: 1. Wie hast Du das B-Feld berechnet? 2. Wie lautet denn bei einer sinus\- oder cosinus\- förmigen Zeitabhängigkeit der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz \w und Periodendauer T? Oder 2. anders formuliert: Was ergibt braket(sin^2(kz-\w t))_t= genommen über eine zeitliche Periode?
Hoffe, das bringt Dich erstmal weiter, ansonsten einfach nochmal melden, bzw. Deine Ergebnisse aufschreiben.
Grüße
Juergen
|
Notiz Profil
Quote
Link |
Phoensie
Aktiv  Dabei seit: 11.04.2020 Mitteilungen: 358
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
|
Notiz Profil
Quote
Link |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|