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| Autor |
  Poynting-Vektoren im zeitlichen Mittel |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 358
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Hallo miteinander
Ich habe zu zwei elektromagnetischen Feldszenarien $\vec{E}_1,\vec{B}_1$ und $\vec{E}_2,\vec{B}_2$ mit Poynting-Vektoren $\vec{S}_1$ und $\vec{S_2}$ gegeben. Dabei haben wir gelernt, dass letzterer als
\[
\vec{S} := \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})
\]
definiert wird. Nun soll ich den "zeitlichen Mittelwert" meiner beiden Poynting-Vektoren ausrechnen, finde aber in meinen Vorlesungsnotizen keine Formel dazu. Habt ihr einen Ansatz, den ich verwenden könnte?
(PS: die Indizes weisen jeweils auf die Teilaufgabe hin; Vektorindizes 1 haben also nichts mit Vektorindizes 2 zu tun...)😉\(\endgroup\)
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8168
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27
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Hallo!
  
Um den zeitlichen Mittelwert von S^> berechnen zu können, müssen zunächst mal S^>, bzw. die Felder E^> und B^> als Funktion der Zeit t gegeben sein. Der zeitliche Mittelwert braket(f(t)) einer zeitabhängigen Größe f(t), genommen über ein Zeitintervall [0,T] ist definiert zu braket(f(t))=1/T int(f(t),t,0,T) Beachte, daß S^>, bzw. E^> und B^> sehr oft als komplexe Größe gegeben sind. Dann bestimmt man entweder den zeitlichen Mittelwert des Realteiles von S^>, oder den zeitlichen Mittelwert des Betragsquadrates von S^>, der proportional zur Intensität der elektromagnetischen Welle ist. Daher: Wie lautet in Deinem Fall die Zeitabhängigkeit von S^>, oder noch besser: Du schreibst den Originalwortlaut der Aufgabenstellung komplett hier auf, :\-)
Grüße
Juergen
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
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Herkunft: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Ausgangslage:
Wir betrachten zwei Arten von transversalen elektromagnetischen Wellen im Vakuum:
\[
\begin{align}
\vec{E}_1 &= \begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}\sin(kz-\omega t), \\
\vec{E}_2 &= E_0 \left( \cos(kz-\omega t)\hat{x} + \sin(kz-\omega t)\hat{y} \right) = \begin{pmatrix}E_0\cos(kz-\omega t) \\ E_0\sin(kz-\omega t) \\ 0\end{pmatrix}.
\end{align}
\]
Berechne für $j \in \{1,2\}$ die Magnetfelder $\vec{B}_j$, die Poynting-Vektoren $\vec{S}_j$ sowie den zeitlichen Mittelwert $\langle \vec{S}_j \rangle$.
Mit deinem Ansatz:
Ich habe für meinen ersten Poynting-Vektor den Folgenden:
\[
\vec{S}_1(\vec{r},t)
= \frac{k\sin^2(kz - \omega t)}{\mu_0\omega}
\begin{pmatrix} -E_{0,x}E_{0,z} \\ -E_{0,y}E_{0,z} \\ E_{0,x}^2 + E_{0,y}^2 \end{pmatrix}
\]
wobei $\begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}$ ein konstanter Vektor ist.
Dann ist mit deiner Formel
\[
\langle \vec{S}_1 \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \vec{S}_1(\vec{r},t) \mathrm{d}t
\]
Stimmt das so weit? Das $T$ ist ja nicht bekannt...🤔\(\endgroup\)
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Spock
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Herkunft: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27
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Hallo!
Nur so nebenbei:
2020-10-27 13:53 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Ausgangslage:
Wir betrachten zwei Arten von transversalen elektromagnetischen Wellen im Vakuum:
\[
\begin{align}
\vec{E}_1 &= \begin{pmatrix} E_{0,x} \\ E_{0,y} \\ E_{0,z} \end{pmatrix}\sin(kz-\omega t)
\end{align}
\]
Wenn die Aufgabe tatsächlich transversale Wellen im Vakuum meint, und das Argument im Sinus andeutet, daß sich E^>_1 in z\-Richtung ausbreitet, dann ist E^>_1 keine transversale Welle, es sei denn, es steht irgendwo noch E_0z=0. Fragen: 1. Wie hast Du das B-Feld berechnet? 2. Wie lautet denn bei einer sinus\- oder cosinus\- förmigen Zeitabhängigkeit der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz \w und Periodendauer T? Oder 2. anders formuliert: Was ergibt braket(sin^2(kz-\w t))_t= genommen über eine zeitliche Periode?
Hoffe, das bringt Dich erstmal weiter, ansonsten einfach nochmal melden, bzw. Deine Ergebnisse aufschreiben.
Grüße
Juergen
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Phoensie
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
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