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Strukturen und Algebra » Polynome » ggT von Polynomen
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Universität/Hochschule ggT von Polynomen
stefanstiege Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Mitglied seit: 26.10.2020, Mitteilungen: 1
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Themenstart: 2020-10-26

Hallo, ich weiß leider überhaupt nicht wie ich konzeptionell an die Aufgabe herangehen soll, da wir nichtmal den ggT von Polynomen "vernünftig" definiert haben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen zumindest einen Ansatz zu finden :)

Seien K ein Körper und f,g,h Elemente aus K[x]. Zeigen Sie ggT(f,ggT(g,h)) = ggT(ggT(f,g),h).

Ich habe versucht mit dem euklidischen Algorithmus zu argumentieren, den wir in der Vorlesung angesprochen haben, aber mit so allgemeinen Polynomen finde ich das etwas schwer...

MfG, Stefan



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StrgAltEntf Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26

Hallo stefanstiege,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Was meinst du damit, dass ihr den ggT nicht vernünftig definiert habt? Irgendwie müsst ihr das ja definiert haben. Versuch doch mal die Aussage für ganze Zahlen x, y und z zu beweisen, also
ggT(x, ggT(y, z)) = ggT(ggT(x, y), z)

(Und zwar, ohne die Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen zu verwenden.)




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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4978, aus: Berlin
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-27

Die Aufgabe hat nichts mit Polynomen zu tun, und der euklidische Algorithmus ist hier nicht zielführend. Sei also allgemeiner $R$ ein Integritätsring. Der ggT von $a,b \in R$ ist ein Element mit der Eigenschaft

$u \mid \mathrm{ggT}(a,b) \iff u \mid a \wedge u \mid b$

für alle $u \in R$. Sprich, die Teiler des ggT von $a,b$ sind die gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$. Falls der ggT existiert, ist er bis auf Einheiten in $R$ eindeutig bestimmt. Allgemein sind $x,y \in R$ genau dann bis auf Einheiten gleich, wenn $u \mid x \iff u \mid y$ für alle $u \in R$ gilt, sie also dieselben Teiler haben. Wenn man schreibt, dass zwei ggTs gleich sind, meint man damit entsprechend auch nur eine Gleichheit bis auf Einheiten. Um nun

$\mathrm{ggT}(a,\mathrm{ggT}(b,c)) = \mathrm{ggT}(\mathrm{ggT}(a,b),c)$

zu zeigen, prüft man also nach, dass sie dieselben Teiler haben, wobei jeder Schritt erzwungen ist. Für alle $u \in R$ gilt

$\quad \quad ~~\,  u \mid \mathrm{ggT}(a,\mathrm{ggT}(b,c))$
$\iff u \mid a \wedge u \mid \mathrm{ggT}(b,c))$
$\iff u \mid a \wedge (u \mid b \wedge u \mid c)$
$\iff $ [den Rest überlasse ich dir]

Falls $R$ ein Hauptidealring ist (zum Beispiel der Polynomring über einem Körper), kann man $\mathrm{ggT}(a,b)$ auch durch die Idealgleichung

$\langle a,b \rangle = \langle \mathrm{ggT}(a,b) \rangle$

charakterisieren. Dann kann man die Behauptung leicht mit der Umformung $\langle a,b \rangle = \langle a \rangle + \langle b \rangle$ und der Assoziativität von $+$ beweisen.



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