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Universität/Hochschule J Zur Gruppenordnung 56
Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo zusammen!

Aufgabe: Gruppen der Ordnung 56 sind nicht einfach.

Beweis.
Sei $G$ eine Gruppe der Ordnung 56. Es ist $\mathrm{ord}(G)=2^3 \cdot 7$. Aus [Sylow III] folgt, dass die Anzahl 7-Sylowgruppen $\in \{1,8\}$ ist. Falls die Anzahl 1 beträgt, ist die einzige 7-Sylowgruppe ein nichttrivialer Normalteiler von $G$. Falls hingegen $8$ $7$-Sylowgruppen in $G$ existieren, ...


Gegeben die Anzahl $7$-Sylowgruppen in der Gruppe, wie berechne ich die Anzahl Elemente mit Ordnung $7$ (Also Anzahl Elemente der Vereinigung aller $7$-Sylowgruppen)?
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hippias Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Was kannst Du über den Durchschnitt zweier veschiedener $7$-Sylowgruppen aussagen?



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Da sie primzahlige Ordnung (=7) haben, ist ihr Durchschnitt trivial.



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hippias Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27

Richtig. Seien nun beispielsweise $S$ und $T$ zwei verschiedene solcher $7$-Sylowgruppen, dann kannst Du nun sicher $|S\cup T|$ angeben. Verallgemeinere dann auf die Vereinigung aller $8$ $7$-Sylowgruppen.



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Wenn $S$ und $T$ zwei $p$-Sylowgruppen in $G$ sind, dann gilt
\[
\mathrm{ord}(S \cup T) = \mathrm{ord}(S) + \mathrm{ord}(T) - \underbrace{\mathrm{ord}(S \cap T)}_{=1}
\]
Hat man also $n$ solche $p$-Sylowgruppen $H_k$, $k \in \{1,\ldots,n\}$, dann müsste
\[
\mathrm{ord}\left(\bigcup_{k=1}^n H_k \right)
= \sum_{k=1}^n \mathrm{ord}\left(H_k \right) - (n-1)
\] gelten, da das neutrale Element in der Summe $n$-mal gezählt wird.
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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-27

Du hast es jetzt so allgemein formuliert, aber das geht natürlich nur, wenn sich die $p$-Sylowgruppen auch tatsächlich trival schneiden (zum Beispiel, wenn sie Ordnung $p$ haben). Insgesamt haben sie hier also $8 \cdot 7 - 7 = 49$ Elemente. Oder anders formuliert: es gibt $48$ Elemente der Ordnung $7$. Bleiben noch $8$ Elemente in der Gruppe übrig. Wieviele $2$-Sylowgruppen gibt es jetzt?



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Phoensie Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Jede $2$-Sylowgruppe hat Ordnung $2^3=8$, und davon existiert nach [Sylow I] mindestens eine. Da aber nur genau $8$ Elemente übrig bleiben, die überhaupt eine von $7$ verschiedene Ordnung haben, existiert nur eine einzige $2$-Sylowgruppe. Diese ist dann nichttrivialer Normalteiler (weil $2$ prim ist).
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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-27

Ja genau. Allerdings verstehe ich den Zusatz (weil $2$ prim ist) nicht. Dass das eine Primzahl ist, geht ja schon bei der Formulierung "$2$-Sylowgruppe" ein. Du brauchst hier [Sylow II], um zu folgern, dass sie ein Normalteiler ist, und die Nichttrivialität ergibt sich aus der Ordnung sofort.



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