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Analysis » Folgen und Reihen » Wohldefiniertheit
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Universität/Hochschule J Wohldefiniertheit
mathescience
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-27


Hallo,

ich habe jetzt schon mal angefangen für die Analaysis Klausur zu lernen.
In einer Altklaushabe ich diese Aufgabe gefunden:

fed-Code einblenden

Ich verstehe leider  nicht, was die mit wohldefiniertheit meinen.
Was muss ich also wirklich zeigen ?


Danke im Voraus

Gruß
mathescience




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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5251
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ich würde sagen, da geht es einfach darum zu zeigen, dass die Reihe für alle \(x\in\IR\) konvergent ist.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-27


Hallo,

mit Wohldefiniertheit sollte hier gemeint sein, dass $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$

tatsächlich eine Funktion definiert. Also die entsprechende Reihe für jedes $x\in\mathbb{R}$ konvergiert.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo mathescience,

wenn man ein Objekt definieren möchte, dann muss gelten:

1. Es gibt überhaupt ein Objekt, das die Definition erfüllt.
2. Dieses Objekt ist eindeutig.

Wenn ich beispielsweise definiere: $q$ ist die rationale Zahl, deren Quadrat $2$ ist. Dann ist $q$ nicht wohldefiniert, denn es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat zwei ist (eine solche Zahl wäre irrational. Damit ist Bedingung 1. nicht erfüllt.
Wenn ich hingegen definiere: $q$ ist die reelle Zahl, deren Quadrat $2$ ist. Dann ist $q$ immer noch nicht wohldefiniert, denn es gibt zwei solche Zahlen: $\sqrt2$ und $-\sqrt2$. Damit ist Bedingung 2. nicht erfüllt.

Du sollst jetzt also zeigen: für alle $x\in\R$ ist erfüllt:

1. $\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^3}$ existiert, das heißt, die Reihe konvergiert.
2. Der durch die Reihe definierte Wert ist eindeutig.

Wobei 2. trivial ist, denn bekanntermaßen sind Grenzwerte von Reihen immer eindeutig, falls sie existieren. Im Endeffekt läuft die Aufgabenstellung darauf hinaus, zu zeigen, dass die Reihe für alle $x\in\R$ konvergiert.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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mathescience
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-05 08:36


Okey da danke ich Dir vielmals hab es verstanden :)



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