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Mathematik » Stochastik und Statistik » Varianz des Betrags eines Vektors mit jeweils normalverteilten Komponenten
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Universität/Hochschule Varianz des Betrags eines Vektors mit jeweils normalverteilten Komponenten
ArHe1993 Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-27

Hallo,

ich knabbere gerade an folgendem Problem:

Ich habe ein Vektorfeld \(\boldsymbol u \in \mathbb R^3\) gegeben. Jede Komponente \(u_i\) folgt einer Normalverteilung \(N(0,\sigma_i^2)\) (mit unterschiedlichen Varianzen, Mittelwert aber für alle Null). Nun möchte ich die Varianz des Betrages von \(\boldsymbol u\),
\[
\mathrm{var}(|\boldsymbol u|) = \left\langle |\boldsymbol u|^2 \right\rangle - \left\langle |\boldsymbol u| \right\rangle^2\\
= \left\langle (u_1^2+u_2^2+u_3^2) \right\rangle - \left\langle \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} \right\rangle^2\\
= \mathrm{var}(u_1) + \mathrm{var}(u_2) + \mathrm{var}(u_3)- \left\langle \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} \right\rangle^2,
\] bestimmen. Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich den letzten Term als Funktion der Varianzen der einzelnen Komponenten ausdrücken kann?

Viele Grüße



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luis52 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Moin ArHe1993, willkommen auf dem Matheplaneten.

Zwei Fragen:

1) Ich vermute, dass $\langle\cdot\rangle$ der Erwartungswertoperator ist. Korrekt?

2) Sind $u_1,u_2,u_3$ unkorreliert oder sogar unabhaengig?

vg Luis



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ArHe1993 Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Hallo luis52, vielen Dank :)

Genau, damit meinte ich den Erwartungswert. Zu 2): Da bin ich mir ehrlich gesagt gerade nicht sicher. Konkret geht es um ein simuliertes (stationäres) Geschwindigkeitsfeld \(\boldsymbol u(\boldsymbol x)\), bei dem ich, vereinfacht gesagt, als Inputparameter die Varianzen der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten festlege. Nun möchte ich diese so festlegen, dass eine bestimmte Varianz für den Betrag \( |\boldsymbol u| \) erreicht wird, wenigstens näherungsweise. Ich habe für eine Simulation die Korrelationskoeffizienten \(\rho\) bestimmt:
\[
\rho(u_1,u_2) = 0,0152, \\
\rho(u_2,u_3) = -0.0223, \\
\rho(u_1,u_3) = - 0.0385.
\]
Liebe Grüße




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luis52 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27

Moin, man wird etwas fuendig, wenn man "distribution normal vector norm" googelt. Das Ganze laeuft in Richtung von etwas Exotischem wie der nichtzentralen Chi-Verteilung. Allerdings wird meist Unabhaengigkeit vorausgesetzt.

Ich biege hier mal ab ...

vg Luis



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ArHe1993 Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Danke für den Tipp, das hat schon sehr geholfen!



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