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Mathematik » Geometrie » Punkte auf Ellipse
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Universität/Hochschule Punkte auf Ellipse
stephi Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 27.10.2020, Mitteilungen: 3
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Themenstart: 2020-10-27

Hallo zusammen,

ich wurde kürzlich vor ein Problem gestellt, welches mir Kopfzerbrechen bereitet. Meine Schul-Geometrie liegt jetzt eine Weile zurück und ich werde aus meiner Problemstellung nicht schlau. Vielleicht kann mir ja jemand helfen!😄

Nehmen wir an ich habe eine Ellipse, die die Halbachsen a=4 und b=2 hat.
Und ich möchte Punkte auf der Trajektorie dieser Ellipse berechnen, und zwar sollen alle denselben Abstand zueinander haben (Anzahl der Punkte z.B. N=8).

Ich dachte jetzt, ich könnte die Punkte nehmen, die die Koordinatenachsen schneiden. Aber wie ich jetzt an die Koordinaten der Punkte dazwischen komme, ist mir leider nicht ganz klar.🤔 Ich habe bereits etwas rumprobiert und mir das Ganze aufgezeichnet, aber leider kam ich zu keiner Lösung.

Viele Grüße und vielen Dank!
Stephi



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StrgAltEntf Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 19.01.2013, Mitteilungen: 6430, aus: Milchstraße
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Hallo stephi,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Kannst du bitte noch kurz erklären, was du hier mit Trajektorie einer Ellipse meinst? (Aus der Definition auf Wikipedia werde ich hier nicht schlau.)

Grüße
StrgAltEntf



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stephi Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 27.10.2020, Mitteilungen: 3
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Hallo StrgAltEntf,

Dankeschön 🙂!

Ups, ich meinte damit die Ellipse an sich, also quasi den Kurvenverlauf.
Die Punkte sollen gleichverteilt auf der Ellipse liegen.



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Wario Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 01.05.2020, Mitteilungen: 182
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27

2020-10-27 17:49 - stephi im Themenstart schreibt:
Nehmen wir an ich habe eine Ellipse, die die Halbachsen a=4 und b=2 hat.
Und ich möchte Punkte auf der Trajektorie dieser Ellipse berechnen, und zwar sollen alle denselben Abstand zueinander haben (Anzahl der Punkte z.B. N=8).

Ich dachte jetzt, ich könnte die Punkte nehmen, die die Koordinatenachsen schneiden. Aber wie ich jetzt an die Koordinaten der Punkte dazwischen komme, ist mir leider nicht ganz klar.🤔 Ich habe bereits etwas rumprobiert und mir das Ganze aufgezeichnet, aber leider kam ich zu keiner Lösung.

Die Aufgabe ist wahrscheinlich kein großes Problem, wenn man die Paramterdarstellungen von Ellipse und Kreis verwendet.
Ich habe das mal berechnet, ich weiß aber nicht, ob ich das Richtige berechnet habe.

Daher:
Kannst Du eine Skizze ergänzen, die das Problem veranschaulicht?




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Diophant Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.01.2019, Mitteilungen: 5283, aus: Rosenfeld, BW
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und auch von mir herzlich Willkommen hier im Forum!

Das Problem ist hier folgendes. Allgemein lässt sich die Bogenlänge einer Kurve ja mit dem Integral

\[\ell_{a,b}=\int_a^b{\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} dx}\]
berechnen. Das könnte man hier umgekehrt verwenden, um eine der Grenzen als Unbekannte bei bekannter Bogenlänge bzw. bekanntem Umfang zu setzen. Das obige Integral lässt sich aber im Fall der Ellipsengleichung nicht auf elementarem Weg berechnen und daher auch nicht der Ellipsenumfang. Hier mal noch ein Link zum entsprechenden Abschnitt im Wikipedia-Artikel über Ellipsen.

Mit Schul-Geometrie wärst du da also sowieso nicht weitergekommen.

Wenn es um ein praktisches Problem geht, könnte man versuchen, das ganze näherungsweise anzugehen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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stephi Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 27.10.2020, Mitteilungen: 3
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27

Hallo und Dankeschön 🙂 !!

Ich freue mich sehr, dass ich so schnell Rückmeldungen erhalten habe!
(und mir hat sich definitiv gezeigt, dass Ellipsen ein doch etwas schwierigeres Thema sind, als ich am Anfang naiverweise dachte...)

Ich habe einfach mal einen Ellipsenrechner aus dem Internet benutzt um das zu skizzieren*. Die blauen Punkte wären z.B. meine vier Anfangspunkte und jetzt würde ich gerne weitere vier setzen, die jeweils zwischen diesen blauen Punkten auf der Ellipse liegen. Die Werte mit a=4 und b=2 sind relativ wahllos gewählt.



*



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
haegar90 Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 18.03.2019, Mitteilungen: 494, aus: Gog
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-27

Hallo,
was hier stand war falsch 🙃.


-----------------
Gruß haegar



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haribo Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 25.10.2012, Mitteilungen: 2586
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-27

Wie wärs grob mit 1.5/2.5 ? Sozusagen mit Augenmaß

Willst du gleichen Abstand zwischen den Punkten, oder Gleichlange ellipsen Abschnitte



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rlk Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 16.03.2007, Mitteilungen: 10908, aus: Wien
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-27

Hallo stephi,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Diese Frage wurde vor einiger Zeit in
LinkPunkte gleichmäßig auf dem Rand einer Ellipse verteilen
diskutiert.

Servus,
Roland



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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 26.04.2020, Mitteilungen: 218
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-27

2020-10-27 20:23 - haribo in Beitrag No. 7 schreibt:
Willst du gleichen Abstand zwischen den Punkten, oder Gleichlange ellipsen Abschnitte

Das habe ich mich auch gefragt. Ich gebe einfach mal zu beidem meinen Senf dazu :P

Ich arbeite mit der Parametrisierung \((b\cos(\varphi),a\sin(\varphi))\) mit \(a=4,b=2\) und schaue mir den ersten Quadranten \(0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}\) an.


Für gleiche Abstände:
Dort gibt mir WolframAlpha als eindeutige Lösung
\[(x,y)=(2\cos(2\arctan(8-\sqrt{59})),4\sin(2\arctan(8-\sqrt{59})))\approx(1.6309,2.3154).\] Die Punkte \((2,0)\) und \((x,y)\) bzw. \((x,y)\) und \((0,4)\) haben also im \(\mathbb{R}^2\) die gleichen Abstände.


Für gleichlange Ellipsenabschnitte:
Man erhält für die Länge des Ellipsenbogens bis zum Winkel \(\varphi\) im ersten Quadranten
\[\int_0^\varphi \sqrt{b^2\sin^2(x)+a^2\cos^2(x)}\,dx = a\int_0^\varphi \sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2(x)}\,dx = aE(\varphi,1-\frac{b^2}{a^2})\] mit dem unvollständigen elliptischen Integral zweiter Art \(E\). Man muss also nur die Gleichung \(aE(\varphi,1-\frac{b^2}{a^2})=\frac{a}{2}E(\frac{\pi}{2},1-\frac{b^2}{a^2})\) lösen lassen, was \(\varphi \approx 0.6366\) ergibt. Daraus folgt
\[(x,y)=(b\cos(\varphi),a\sin(\varphi))\approx(1.6082, 2.3779).\] Die Ellipsenabschnitte von \((2,0)\) bis \((x,y)\) bzw. von \((x,y)\) bis \((0,4)\) haben also die gleiche Länge.


2020-10-27 20:23 - haribo in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie wärs grob mit 1.5/2.5 ? Sozusagen mit Augenmaß

Okay, so geht's natürlich auch, finde ich aber etwas grob ;D

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.8 begonnen.]



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