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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilung Wartezeit zwischen Ausfällen bei Exponentialverteilung
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Universität/Hochschule Verteilung Wartezeit zwischen Ausfällen bei Exponentialverteilung
Clvrhammer Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Themenstart: 2020-10-27

Hallo,

Ich benötige ein wenig Hilfe bei einer Übungsaufgabe. Die Aufgabe lautet wie folgt:


"""
Die Lebensdauer von Festplatten sei exponentialverteilt mit dem Mittel $\tau$. Sie schalten $N$ gleichartige Festplatten gleichzeitig ein.

a) Wie ist die Wartezeit bis Ausfall der ersten Platten verteilt?

b) Was ist ihr Mittelwert?

c) Wie ist die Wartezeit bis zum letzten Ausfall verteilt?
"""


Nun mein Lösungsansatz hierzu ist der folgende:

Um die Dichtefunktion der Wartezeit bis Ausfall erster Platte zu ermitteln, frage ich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass im Intervall $[t, t+dt]$ der erste (oder mehrere?) Ausfall auftritt. Hierzu darf jedoch im Intervall $[0,t]$ kein Ausfall aufgetreten sein.

Die Wahrscheinlichkeit $P$ im Intervall $[0,t]$ keinen Ausfall zu haben ist:

$$P_{[0,t]}(0) \enspace = \enspace \Big( \int_0^t f(x) dx \Big)^N \enspace = \enspace F(t)^N$$
mit der Dichtefunktion $f(x)$ (Exponentialverteilung) und der Verteilungsfunktion $F(x)$.

Die Wahrscheinlichkeit wiederum, dass im Intervall $[t,t+dt]$ mindestens ein Ausfall auftritt ist die Gegenwahrscheinlichkeit, dass im besagtem Intervall kein einziger Ausfall passiert:

$$P_{[t,t+dt]}(\geq 1) \enspace = \enspace \big( 1 - f(t)dt \big)^N$$
Das Produkt beider Wahrscheinlichkeiten ist

$$P_{[0,t]}(0) \cdot P_{[t,t+dt]}(\geq 1) \enspace = \enspace F(t)^N \cdot \big( 1 - f(t)dt \big)^N$$
Nun weiß ich von hier aus jedoch nicht mehr weiter. Sobald ich die Dichtefunktion ermittelt habe, denke ich, dass den Mittelwert (Punkt b) zu berechnen einfach wird. Punkt c wiederum wird sich wohl - sobald der Ansatz von Punkt a vervollständigt ist - auch ergeben. Nur wie mache ich von der obigen Gleichung aus weiter?

Grüße,
Clvrhammer



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luis52 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27

Moin Clvrhammer, ich tue mich schwer, deine Herleitung nachzuvollziehen.

Aber sieh' es mal so: Sei $X_i$ die Ausfallzeit fuer Platte $i$, $i=1,\dots,n$. Was ist dann $X_{(1)}=\min\{X_1,\dots,X_N\}$? Wie ist $X_{(1)}$ verteilt? Dito $X_{(N)}=\max\{X_1,\dots,X_N\}$.

(Du unterstellst in deinen Rechnungen anscheinend Unabhaengigkeit. Das ist hier auch von Nutzen.)

vg Luis



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Clvrhammer Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27


Hm, ganz versteh ich nicht was du meinst. Die Ausfallzeiten $X_i$ sind hinsichtlich der verschiednenen $i$ denke ich gleichverteilt. Die Verteilung der Ausfallzeiten, i.e. welche Zeiten $t$ selbst gegenüber anderen Zeiten wahrscheinlicher sind, ist jedoch nicht gleichverteilt. Wie berechnet sich letztere aus deinem Ansatz?



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luis52 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27

Okay, betrachte den Fall $N=3$. Es werden die Werte $x_1=3.7$, $x_1=8.1$ und $x_3=2.5$ beobachtet. Die Wartezeit bis zum Ausfall der ersten Platte ist dann also $2.5=\min\{3.7,8.1,2.5\}=x_{(1)}$. Generell beschreibt $X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,X_3\}$ die Wartezeit bis zum Ausfall der ersten Platte.

vg Luis




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