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Universität/Hochschule J Anderer Beweis gesucht
Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-28

Hallo,
ich möchte einen anderen (schöneren) Beweis für die Aussage:
\(\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{Z}[T]/(T^2+1)\).
Ich habe einfach $\operatorname{ev}:\mathbb{Z}[T] \to \mathbb{Z}[i]$ das $T$ auf $i$ abgebildet und nachgerechnet, dass der Kern genau $(T^2+1)$ ist. Bei der einen Inklusion musste ich aber aus \(q(T)\cdot (T^2+1) = p(T)\) mit $p(T)\in \mathbb{Z}[T]$ und $q(T)\in \mathbb{Q}[T]$ folgern, dass schon $q(T)\in \mathbb{Z}[T]$.
Das Gaußlemma, was ich aus einer alten Vorlesung kenne, konnte ich nicht anwenden, da $p$ nicht normiert ist. Geht es vielleicht mit einem anderen Gaußlemma (es gibt viele Variationen)?

Vielen Dank!



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Polynomdivision geht in $R[T]$ durch beliebige normierte Polynome. Insbesondere hat $\IZ[T]/\langle T^2+1 \rangle$ als $\IZ$-Basis $1,T$. Die universellen Eigenschaften liefern einen Homomorphismus von Ringen $\IZ[T]/\langle T^2+1 \rangle \to \IZ[i]$ mit $T \mapsto i$. Er bildet die genannte Basis auf die $\IZ$-Basis $1,i$ ab, ist also ein Isomorphismus. Man braucht $\IQ$ nirgendwo.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Ok, das ist sehr schön.
Ich formuliere es nochmal für mich selbst mit anderen Worten:
Evaluationshomomorphismus + Homomorphiesatz führt zu einem Homomorphismus von Ringen $\IZ[T]/\langle T^2+1 \rangle \to \IZ[i]$ mit $T \mapsto i$, welcher surjektiv ist. Insbesondere ist dies ein $\IZ$-Modul Homomorphismus. Der Homomorphismus bildet $\IZ$-Basis auf $\IZ$-Basis ab und ist somit injektiv.
(Dass es eine $\IZ$-Basis ist rechnet man nach)

Zu das in der Klammer: Das kann man allgemein machen, was du wahrscheinlich auch meinst Triceratops.
Sei $p(X)\in R[X]$ beliebig und $n(X)\in R[X]$ normiert. Dann existieren $q(X),r(X)\in R[X]$ mit $\operatorname{deg}(r(X)) < \operatorname{deg}(n(X))$ und $p(X)=q(X)\cdot n(X) + r(X)$.
Das Wichtige ist nun: $q(X)$ und $r(X)$ sind eindeutig!

Frage:
1) Warum ist der Homomorphiesatz eine universelle Eigenschaft? Es wird ja kein Objekt dadurch definiert.
2) Du schreibst Ideale immer mit $\langle ...\rangle$, liegt es daran, dass normale Klammern in Ausdrücken zu häufig vorkommen und man eine bessere Unterscheidung haben sollte?





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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

*Häkchen muss weg*



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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-28

Der Homomorphiesatz sagt gerade aus, dass ein surjektiver Homomorphismus (von Ringen, usw.) $p : A \to B$ der Differenzkokern von $p_1,p_2 : A \times_B A \rightrightarrows A$ ist (siehe auch effective epimorphism). So oder so: Man beschreibt den Funktor $\mathrm{Hom}(B,-)$ (als Unterfunktor von $\mathrm{Hom}(A,-))$, und so eine Beschreibung ist per Definition eine universelle Eigenschaft von $B$.

Erzeugte Ideale mit $(\dotsc)$ zu bezeichnen, ist zwar üblich, aber einerseits eine zu große abuse of notation, weil alles mögliche schon mit solchen Klammern bezeichnet wird*, und andererseits inkonsistent. Erzeugte Strukturen werden in der allgemeinen Theorie immer mit $\langle \dotsc  \rangle$ bezeichnet, und konkret lernt man das bei Gruppen und Vektorräumen. Das gilt dann auch für Moduln, und Ideale von $R$ sind nun einmal Untermoduln des $R$-Moduls $R$. Es gibt keinen Grund, eine spezielle Notation einzuführen, zumal sie von den Gemeinsamkeiten ablenkt.

*geordnete Paare, offene Intervalle, ggT, Hilbert-Symbol, ...



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28

Danke, du hast vollkommen recht!



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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