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 Glatte Funktion |
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mathsmaths
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
 |  Themenstart: 2020-10-28
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hallo zusammen,
ich soll für $a,b \in \mathbb{R}$ mit $a0$ ( und $0$ sonst) angegeben und dass man eine ähnliche Funktion mit Träger im Intervall $[a,b]$ integrieren soll. Hat jemand Tipps ?
Ich habe schon ewig überlegt und herumprobiert aber bin auf nichts gekommen 😃
Gruß
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28
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Hallo,
probiere vielleicht erstmal einen Spezialfall.
Also suche eine Funktion die auf $(-\infty, 0]$ identisch Null ist, und auf $[1,\infty)$ identisch 1.
Ist $f(x)=e^{-1/x}$, so sollte $\varphi$ dann von der Bauart $\varphi(x)=\frac{f(\dotso)+f(\dotso)}{f(\dotso)+f(\dotso)}$ sein, oder jedenfalls ähnlich aussehen. Ob das mit dem $+$ so stimmt, weiß ich gerade nicht, aber ich bin auch schon am Zähneputzen... lol
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mathsmaths
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
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Hallo danke dir :)
Funktioniert: $\varphi(x) = \frac{f(x-a)}{f(x-a) + f(b-x)}$ ?
Denke die sollte funktionieren eigentlich 😃
Grüße
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28
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Ja, das sieht sehr gut aus.
Der entscheidende Trick ist das $f(b-x)$ um die Null im Nenner zu vermeiden.
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mathsmaths
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
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Super, danke dir. Schwere Geburt !
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28
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Gern geschehen.
Ich hatte es mir letztendlich so überlegt, dass ich die obige Form nochmal verallgemeinert hatte.
Also $\varphi(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}$ und ich mir jetzt die entsprechenden Funktionen überlegen muss.
Dabei muss $Z(x)=0$ für alle $x\leq a$.
Und $Z(x)=N(x)$ für alle $x\geq b$, sowie $N(x)\neq 0$ für $x\in (a,b)$.
Dass $Z(x)=f(x-a)$ sieht man dann praktisch sofort, weil es genau die gewünschte Eigenschaft sehr einfach liefert.
Jetzt muss ich nur noch den Nenner finden. Das ist dann auch nicht mehr so schwierig. Man muss nur dafür sorgen, dass man wieder $f(x-a)$ im Nenner hat, damit sich dies später rauskürzt, und einen weiteren Summanden, der im Intervall $[b,\infty)$ rausfliegt, aber dafür sorgt, dass wir keine Null im Nenner haben.
Mit den Gedanken kommt man also recht strukturiert drauf.
Natürlich ist die resultierende Funktion glatt, als Summe, Quotient von glatten Funktionen.
Deshalb benutzt man ja gerade die funktion $f$.
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mathsmaths
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28
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Sehr schön danke nochmals :)
Auf diese Struktur bin ich nicht gekommen 😃
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| mathsmaths hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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