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Analysis » Topologie » ℝⁿ\{0} einfach zusammenhängend für n>2
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Universität/Hochschule J ℝⁿ\{0} einfach zusammenhängend für n>2
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-10-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Guten Abend allerseits

Aufgabe: $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ist einfach zusammenhängend für $n \geq 3$.

Zu zeigen: $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ist wegzusammenhängend UND jede geschlossene, stetige Kurve in $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ist nullhomotop, d.h. lässt sich stetig in einen Punkt zusammenziehen (d.h. sie ist homotop zu einer konstanten Kurve mit einelementiger Bildmenge).

Beweis.
Sei $n \geq 3$.

(1) $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ ist wegzusammenhängend:
Konnte ich zeigen unter Angabe eines stetigen Streckenzuges $\gamma:[0;1] \to \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, der zwei Punkte $a,b \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ via einem dritten Punkt $c \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ um $0$ herum verbindet.
\[
        \begin{align*}
            \gamma(t):=
            \begin{cases}
                a+t(c-a) &\text{, falls } 0 \leq t < \frac{1}{2} \\
                c+t(b-c) &\text{, falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
            \end{cases}
        \end{align*}
\]
(2) Jede geschlossene Kurve $\gamma:[a;b] \to \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ mit $\gamma(a)=\gamma(b)=P$ ist homotop zur konstanten Kurve $\mu:[a;b] \to \{P\}$.

Sei $P \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ dazu ein beliebiger Punkt.

Hier möchte ich explizit eine Homotopie angeben. Ich weiss man könnte die geschlossene, stetige "Anfangskurve" $\gamma$ O.B.d.A. auf $[0;1]$ definieren (ansonsten verwende man $T: [0;1] \to [a;b],\, T(t)=a+t(b-a)$ als Intervallreparametrisierung und betrachte die Kurve $\gamma \circ T$) und als differenzierbar voraussetzen, aber ich möchte falls möglich ohne diese Werkzeuge auskommen.

Ich konstruiere eine Homotopie $H: [a;b] \times [0;1] \to \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ mit den (bei uns in der Vorlesung behandelten) Eigenschaften
$H(t,0) = \gamma(t)$
$H(t,1) = \mu(t) = P$
$H(a,s) = P$
$H(b,s) = P$
$H$ ist stetig.


Die Abbildung $H(t,s) := s\mu(t) + (1-s)\gamma(t)$ erfüllt die ersten zwei Punkte, jedoch hapert es noch bei Punkt 3 und 4. Habt ihr Ideen, wie ich mein $H$ modifizieren kann? Es ist nämlich:
$H(t,0) = \gamma(t)$
$H(t,1) = \mu(t)$
$H(a,s) = sP$
$H(b,s) = sP$
$H$ ist stetig.


Danke im Voraus!😁
LG Phoensie
       
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Habe den zweiten Punkt korrigiert; er sollte jetzt in folgender Formulierung richtig sein:

Für einen beliebigen Punkt $P \in \mathbb{R}^n \setminus\{0\}$ ist die Abbildung
\[
        \begin{align*}
            &H: [a;b] \times [0;1] \to \mathbb{R}^n\setminus\{0\} \\
            &H(t,s) := \gamma(t) + s(\mu(t) - \gamma(t))
        \end{align*}
\] stetig, hat die Eigenschaften
$(*) \quad H(t,0) = \gamma(t)$
$(*) \quad H(t,1) = \mu(t) = P$
$(*) \quad H(a,s) = \mu(a) = P$
$(*) \quad H(b,s) = \mu(b) = P$
und ist somit Homotopie von $\gamma$ nach $\mu$ in $\mathbb{R}^n \setminus\{0\}$.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-30


(1) Du kannst $c$ nicht beliebig wählen. Wenn $c=-a$ zum Beispiel, ist $\gamma$ kein Weg in $\IR^n \setminus \{0\}$. Außerdem muss es $2t$ in beiden Fällen der Formel heißen (sonst wäre $\gamma$ nicht stetig).

(2) Hast du dir klar gemacht, ob überhaupt $H$ nach $\IR^n \setminus \{0\}$ abbildet? Und wo hast du $n \geq 3$ benutzt? Beachte, dasss die Behauptung für $n=2$ bekanntlich falsch ist.

Dein Fehler ist also, dass du bisher eigentlich nur $\IR^n$ betrachtet hast (aber dieser Raum ist zusammenziehbar und daher trivialerweise einfach zusammenhängend), nicht $\IR^n \setminus \{0\}$.

So oder so sollte man sich hier erst einmal geometrisch klarmachen, was gegeben und was zu zeigen ist. (Dann wirst du schnell sehen, warum deine Homotopien nicht funktionieren.) Und ich rate, erst einmal nur den Fall $n=3$ anzuschauen.



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