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Universität/Hochschule J Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen
Math_user Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-10-30

Guten Abend zusammen

Ich befasse mich gerade mit folgendem Satz: Es seien $Y$ und $Z$ metrische Räume, und $Z$ sei vollständig. Ferner sei $X$ eine dichte Teilmenge von $Y$, und $f : X \to Z$ sei gleichmäßig stetig. Dann besitzt $f$ eine eindeutig bestimmte stetige Erweiterung $F : Y → Z$. Sie wird durch
$$F(y) = \lim_{x \to y,\, x\in X}\; f(x) ,\;\; y \in Y$$ gegeben und ist gleichmäßig stetig.

Nun verstehe ich nicht wie man genau $F$ definiert. Im Beweis steht: Ist $x \in X$, setzen wir $x_j := x$ für $j \in \Bbb N$ und finden $F(x) = \lim_{\,j}\; f(x_j) = f(x)$.
Also stellt $F$ eine Erweiterung von $f$ dar.

Ich verstehe diese Definition nicht, sei $x \in X$ so definieren wir $x_j:=x$ aber dies ist ja keine Folge oder? Wieso können wir da denn Limes nehmen? And was ist mit $x \in Y \setminus X$?

Vielen Dank für eure Hilfe und bleibt gesund
Math_user


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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30

Was genau verstehst du an der Definition nicht? Hast du mit der Schreibweise dort Probleme? Hast du die Definition eines Limes nachgeschlagen? Und natürlich sind konstante Folgen Beispiele von Folgen. Dass $F$ eine Erweiterung von $f$ ist, heißt $F(x)=f(x)$ für $x \in X$. Daher betrachtet man zum Nachweis $x \in X$ und nicht $x \notin X$. Wie $F$ auf ganz $Y$ definiert ist, steht dort.

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Math_user Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31

Tut mir leid, ich sah gestern vor lauter Mathematik die einfachsten Sachen nicht mehr. Vielen Dank für deine Ausführung und ein gutes Wochenende.

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