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Autor |
Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen |
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Math_user
Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 626
Wohnort: Deutschland
 | Themenstart: 2020-10-30
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Guten Abend zusammen
Ich befasse mich gerade mit folgendem Satz: Es seien $Y$ und $Z$ metrische Räume, und $Z$ sei vollständig. Ferner sei $X$ eine dichte Teilmenge von $Y$, und $f : X \to Z$ sei gleichmäßig stetig. Dann besitzt $f$ eine eindeutig bestimmte stetige Erweiterung $F : Y → Z$. Sie wird durch
$$F(y) = \lim_{x \to y,\, x\in X}\; f(x) ,\;\; y \in Y$$
gegeben und ist gleichmäßig stetig.
Nun verstehe ich nicht wie man genau $F$ definiert. Im Beweis steht: Ist $x \in X$, setzen wir $x_j := x$ für $j \in \Bbb N$ und finden $F(x) = \lim_{\,j}\; f(x_j) = f(x)$.
Also stellt $F$ eine Erweiterung von $f$ dar.
Ich verstehe diese Definition nicht, sei $x \in X$ so definieren wir $x_j:=x$ aber dies ist ja keine Folge oder? Wieso können wir da denn Limes nehmen? And was ist mit $x \in Y \setminus X$?
Vielen Dank für eure Hilfe und bleibt gesund
Math_user
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Triceratops
Aktiv  Dabei seit: 28.04.2016 Mitteilungen: 6208
Wohnort: Nordamerika
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-30
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Was genau verstehst du an der Definition nicht? Hast du mit der Schreibweise dort Probleme? Hast du die Definition eines Limes nachgeschlagen? Und natürlich sind konstante Folgen Beispiele von Folgen. Dass $F$ eine Erweiterung von $f$ ist, heißt $F(x)=f(x)$ für $x \in X$. Daher betrachtet man zum Nachweis $x \in X$ und nicht $x \notin X$. Wie $F$ auf ganz $Y$ definiert ist, steht dort.
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Math_user
Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 626
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31
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Tut mir leid, ich sah gestern vor lauter Mathematik die einfachsten Sachen nicht mehr. Vielen Dank für deine Ausführung und ein gutes Wochenende.
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Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. Math_user hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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