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 Ableitung von f(λ x) |
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kokosnusskopf
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 113
 |  Themenstart: 2020-10-31
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kann mir jemand diese gleichung erklären bzw. beweisen? f ist eine differenzierbare funktion in n variablen
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51557_Screenshot_20201031-144249_WhatsApp.jpg
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31
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ich verstehe den rechten ausdruck auch nicht. worauf wird die ableitung von f nach $/lambda x_i$ denn angwandt?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-31
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Hallo,
ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. Irgendwie sieht das nach der Ableitung einer Likelihood-Funktion aus, aber das ist jetzt nur im Nebel gestochert.
Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.
Gruß, Diophant
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kokosnusskopf
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Dabei seit: 03.05.2019
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31
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\quoteon(2020-10-31 14:57 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo,
ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. Irgendwie sieht das nach der Ableitung einer Likelihood-Funktion aus, aber das ist jetzt nur im Nebel gestochert.
Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.
Gruß, Diophant
\quoteoff
über die funktion ist hier nichts bekannt, ausser, dass sie von R^n nach R geht
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Rathalos
Aktiv 
Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 163
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-31
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Hi kokusnusskopf,
Ich kenne diese Beziehung (Euler-Theorems nach Wikipedia) für homogene Funktionen (https://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion). Kann es sein, dass ihr homogonene Funktionen betrachtet oder extensive Größen in der Thermodynamik ?
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kokosnusskopf
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31
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\quoteon(2020-10-31 15:21 - Rathalos in Beitrag No. 4)
Hi kokusnusskopf,
Ich kenne diese Beziehung (Euler-Theorems nach Wikipedia) für homogene Funktionen (https://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion). Kann es sein, dass ihr homogonene Funktionen betrachtet oder extensive Größen in der Thermodynamik ?
\quoteoff
ja genau die Aufgabe geht um homogene funktionen. das hier ist der ausschnitt aus der lösung, die ich nicht verstehe
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3641
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-31
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Hallo
\quoteon(2020-10-31 15:03 - kokosnusskopf in Beitrag No. 3)
\quoteon(2020-10-31 14:57 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo,
ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. [...]
Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.
Gruß, Diophant
\quoteoff
über die funktion ist hier nichts bekannt, ausser, dass sie von R^n nach R geht
\quoteoff
Sorry, aber das stimmt doch nicht. Du hast doch eben geschrieben, dass $f$ homogen ist. Und genau das hat Diophant doch gerade erfragen wollen - ob du mehr Informationen zu $f$ hast. Sorry.
Nicht alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen sind homogen, so ist $f:=X^3+Y^2$ nicht homogen, aber $f:=X^3+Y^3$ ist homogen. Für homogene Funktionen gibt es ein $n\in\mathbb N$ mit
\[
f(\lambda x)=\lambda^nf(x)
\]
für alle $\lambda$ und $x$.
Magst du den ganzen Beweis, um den es geht, mal abtippen.
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kokosnusskopf
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Dabei seit: 03.05.2019
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
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ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.
Hier die Aufgabe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51557_kaka.PNG
In der Lösung für den a-Teil werden beide Seiten der Gleichung $f(\lambda x) = \lambda^n f(x)$ nach $\lambda$ abgeleitet und dann $\lambda = 1$ gesetzt. Dabei wird ohne Beweis die Gleichheit aus der Frage genutzt, so als wäre sie allgemein für diffbare Funktionen gültig und leicht einzusehen.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 | Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-01
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\quoteon(2020-11-01 11:31 - kokosnusskopf in Beitrag No. 7)
ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.
\quoteoff
Das ist auch völlig richtig. Der Schritt in deinem Startbeitrag ist einfach die Ableitung der Funktion $\lambda\mapsto f(\lambda x)$ nach der Kettenregel.
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kokosnusskopf
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-01
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\quoteon(2020-11-01 11:34 - zippy in Beitrag No. 8)
\quoteon(2020-11-01 11:31 - kokosnusskopf in Beitrag No. 7)
ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.
\quoteoff
Das ist auch völlig richtig. Der Schritt in deinem Startbeitrag ist einfach die Ableitung der Funktion $\lambda\mapsto f(\lambda x)$ nach der Kettenregel.
\quoteoff
Kannst du mir die Vorschrift für diese Kettenregel vielleicht erklären bzw. verlinken und mir erklären wie der Ausdruck auf der rechten Seite zu verstehen ist?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-01
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\quoteon(2020-11-01 11:54 - kokosnusskopf in Beitrag No. 9)
wie der Ausdruck auf der rechten Seite zu verstehen ist?
\quoteoff
Die rechte Seite ist sehr unüblich geschrieben. Generell besteht bei einer partiellen Ableitung wie $\displaystyle{\partial f(\lambda\,x)\over\partial x_i}$ für eine Funktion $x\mapsto f(x)$ ein Notationsproblem: Ist damit gemeint, dass man...
1. die Funktion $f$ nach ihrem $i$-ten Argument abeleitet und dann in die Ableitung als Argument $\lambda\,x$ einsetzt oder dass man
2. erst in die Funktion als Argument $\lambda\,x$ einsetzt und dann den entstehenden Ausdruck nach $x_i$ ableitet.
Man kann diese beiden Fälle z.B. durch folgende Schreibweisen klar unterscheiden:
1. $\displaystyle {\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)$ und 2. $\displaystyle {\partial \over\partial x_i}\Bigl[f(\lambda\,x)\Bigr]$
Der Ausdruck $\displaystyle{\partial f\over\partial(\lambda\,x_i)}$ im Startbeitrag ist eine verwirrende Schreibweise für 1. $\displaystyle {\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)$.
Die Kettenregel für eine Funktion $F=f\circ\phi$ mit $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ und $\phi\colon\mathbb R\to\mathbb R^n$ sagt allgemein$$
F' = \left(f'\circ\phi\right) \cdot \phi' \;.
$$In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das$$
F' =
\sum_i\left({\partial f\over\partial x_i}\circ\phi\right) \cdot \phi_i'
$$oder, wenn man auch noch die Argumente einsetzt,$$
{\partial \over\partial\lambda}\Bigl[f\bigl(\phi(\lambda)\bigr)\Bigr] =
\sum_i{\partial f\over\partial x_i}\bigl(\phi(\lambda)\bigr)\cdot {\partial\phi_i\over\partial\lambda}(\lambda) \;.
$$Das auf die Funktion $\phi(\lambda)=\lambda\,x$ angewandt liefert$$
{\partial \over\partial\lambda}\Bigl[f(\lambda\,x)\Bigr] =
\sum_i{\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)\cdot x_i \;.$$
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