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Analysis » Integration » Laplace-Operator
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Universität/Hochschule Laplace-Operator
mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-07


Hallo,

Folgt die Vertauschbarkeit von Laplace-Operator und Integration sofort bei:

$\Delta _x \int f(x,y) a(y)\,dy = \int \Delta _x f(x,y) a(y)\,dy$

wobei $x \mapsto f(x,y)$ glatt sein soll und $a \in L^\infty$. Der Integrationsbereich ist nicht beschränkt btw. Der Autor in dem Buch schreibt einfach, dass das dann sofort folgt. Aber ich sehe nicht, warum dies gleich folgen sollte.

Jemand Ideen dazu ?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-07


Hallo mathsmaths,
vielleicht enthält dieser Thread LinkWann sind Integration und Differentiation vertauschbar? ausreichende Bedingungen für deine Anwendung.

Viele Grüße,
  Stefan



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-07


Danke für deine Antwort :) Leider hilft mir das nicht weiter



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-07


Hallo mathsmaths,

wieso hilft Dir der Beitrag von Stefan nicht weiter? Um die Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung rechtfertigen zu können, brauchst Du eine integrierbare Majorante, siehe z.B. auch de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Differenzierbarkeit_von_Parameterintegralen

Wegen \(\Delta_x=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\) sieht das für mich eigentlich genau nach dem aus was Du suchst.

Du müsstest uns aber noch mehr Informationen über \(f\), insbesondere über die Abbildung \(y\mapsto f(x,y)\) für festes \(x\) geben, sonst kann man die Frage wohl nicht beantworten. Ohne zusätzliche Bedingungen sind Deine Integrale ohnehin gar nicht definiert.

Um \(\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\int f(x,y)a(y)\,dy=\frac{\partial}{\partial x_i}\int \frac{\partial}{\partial x_i}f(x,y)a(y)\,dy=\int \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}f(x,y)a(y)\,dy\) zu bekommen, wäre es also gut wenn \(|\frac{\partial}{\partial x_i}f(x,y)a(y)|\leq h_1(y)\) und \(|\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}f(x,y)a(y)|\leq h_2(y)\) für alle \(x,y\) und integrierbare \(h_1,h_2\). Da \(a\in L^\infty\) ist, reicht es integrierbare \(g_1,g_2\) mit \(|\frac{\partial}{\partial x_i}f(x,y)|\leq g_1(y)\) und \(|\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}f(x,y)|\leq g_2(y)\) für alle \(x,y\) zu finden.



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08


Hallo sonnenschein96,

Danke für deine Antwort.

Sorry falls meine Frage nicht ganz rübergekommen ist - ich wollte eben wissen ob man aus der Eigenschaft der Glattheit immer schon schließen kann, dass die Ableitungen durch integr. Funktionen majorisierbar sind.
In meinem Fall geht es um den Poisson-Kern für die obere Halbebene im $\mathbb{R}^n$



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-08


Damit Deine Fragestellung überhaupt Sinn ergibt, müssen ja zumindest \(y\mapsto f(x,y)\) und \(y\mapsto \Delta_x f(x,y)\) für alle \(x\) als integrierbar vorausgesetzt werden.

Nur aus der Glattheit von \(x\mapsto f(x,y)\) für alle \(y\) folgt eigentlich gar nichts: Du hast eben keinerlei Information darüber, wie sich \(y\mapsto f(x,y)\) für festes \(x\) verhält. Im Extremfall könntest Du \(f(x,y):=g(x)h(y)\) für ein glattes \(g\) und ein beliebiges \(h\) definieren. Dann wäre \(x\mapsto f(x,y)\) glatt und über \(y\mapsto f(x,y)\) weißt Du gar nichts. Es gilt \(\partial^\alpha_x f(x,y)=(\partial^\alpha_x g(x))h(y)\). Ist \(h\) nicht integrierbar und \(\partial^\alpha_x g(x)\neq0\), so ist also \(y\mapsto \partial^\alpha_x f(x,y)\) auch nicht integrierbar. Insbesondere gibt es natürlich auch keine integrierbaren Majoranten.


Das ist hier bei Dir wohl aber sicher nicht der Fall. Du hast mehr Informationen vorliegen, als nur dass \(x\mapsto f(x,y)\) glatt ist. Diese Informationen würde ich gerne von Dir haben.

Du hast ja schon erwähnt, dass \(f\) der Poisson-Kern für den oberen Halbraum im \(\mathbb{R}^n\) sein soll. Im Internet habe ich \(f(x,y)=\frac{2x_n}{\omega_n}\frac{1}{|x-y|^n}\) gefunden, wobei \(x\) aus dem oberen Halbraum (also \(x_n>0\)) und \(y\) aus dem Rand davon (also \(y_n=0\)) ist. Kannst Du mir diese Formel bestätigen?



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08


Hallo Sonnenschein,

Danke dir abermals für die Antwort. Ich dachte eben, dass es vielleicht allgemein für glatte Funktionen da etwas gibt, da der Autor wie gesagt nur kurz geschrieben hat, dass diese Abschätzung kein Problem sei, da der Kern glatt ist. 🙂

Ja du hast ganz Recht mit der von dir angegebenen Formel - genau die meine ich !

Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-09


Die Integrierbarkeit von \(f\) und den partiellen Ableitungen beruht hier im Wesentlichen auf der Tatsache, dass die Funktion \(y\mapsto\frac{1}{|y-x|^\alpha}\) für festes \(x\) und \(\alpha>n-1\) über den Rand des oberen Halbraumes integrierbar ist. Dies liegt daran, dass die Funktion wegen \(\alpha>n-1\) im Unendlichen schnell genug abfällt und die Singularität von \(\frac{1}{|\cdot|^\alpha}\) in \(0\) keine Rolle spielt, da stets \(|y-x|\geq|y_n-x_n|=x_n>0\) ist.

Du kannst nun ein \(x'\) im oberen Halbraum \(\mathbb{H}\) betrachten und ein \(\varepsilon>0\) wählen, sodass die abgeschlossene \(\varepsilon\)-Kugel um \(x'\) immer noch im oberen Halbraum liegt, also \(\overline{B}_\varepsilon(x')\subseteq\mathbb{H}\). Es gibt nun ein \(C>0\), sodass für alle \(x\in\overline{B}_\varepsilon(x')\) gilt, dass \(|x|\leq C\) und \(x_n\geq\frac{1}{C}\). Damit solltest Du nun leicht auf \(B_\varepsilon(x')\) von \(x\) unabhängige integrierbare Majoranten finden können. Daher kannst Du die Vertauschung von Ableitungen und Integral auf \(B_\varepsilon(x')\) rechtfertigen. Da diese Kugeln \(\mathbb{H}\) überdecken, folgt die Aussage auf ganz \(\mathbb{H}\).



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Eine Alternaitve ist, dass \( f\) eine Testfunktion sein soll und immer alles geht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-09


Hallo sonnenschein96 und Wally,

Danke für eure beiden Antworten. Nun habe ich es verstanden ! :)

Grüße

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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mathsmaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo,

ich bin draufgekommen, dass ich es doch nicht ganz verstanden habe. Trotz der Tipps von Sonnenschein, bin ich nicht in der Lage für die partiellen Ableitungen auch integrierbare Majoranten zu finden. Mir macht die Unbeschränktheit des Integrationsbereichs Probleme. Hat jemand Tipps/Ideen dazu ?

Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-30


Ich betrachte erstmal wieder die Funktion \(\partial\mathbb{H}\to\mathbb{R}, y\mapsto\frac{1}{|y-x|^\alpha}\) mit \(\alpha>n-1\) und \(x\in\mathbb{H}\). \(f\) und die partiellen Ableitungen sollten im Wesentlichen aus solchen Ausdrücken bestehen.

Betrachte nun \(x\in \overline{B}_\varepsilon(x')\) wie in Beitrag No.7, d.h. wir suchen nur lokal eine Majorante. Global würde dies auch wohl gar nicht gehen, da \(y-x\) beliebig nahe an \(0\) sein kann und \(\frac{1}{|\cdot|^\alpha}\) bei \(0\) nicht integrierbar ist.

Wegen \(|y-x|\geq|y_n-x_n|=x_n\geq\frac{1}{C}\) ist \(\frac{1}{|y-x|^\alpha}\leq C^\alpha\). Andererseits gilt z.B. für \(y\in\partial\mathbb{H}\) mit \(|y|\geq2C\), dass \(|y-x|\geq|y|-|x|\geq|y|-C\), also \(\frac{1}{|y-x|^\alpha}\leq\frac{1}{(|y|-C)^\alpha}\).

Wir könnten jetzt also folgende von \(x\in B_\varepsilon(x')\) unabhängige Majorante \(g\colon\partial\mathbb{H}\to\mathbb{R}\) angeben: \(g(y)=C^\alpha\) für \(|y|<2C\) und \(g(y)=\frac{1}{(|y|-C)^\alpha}\) für \(|y|\geq2C\). Die Konstante \(C\) hängt zwar von der Kugel \(\overline{B}_\varepsilon(x')\) ab, aber nicht von \(x\).

Wenn Du das nun für die partiellen Ableitungen machst, solltest Du damit eigentlich die Vertauschung von Integral und Ableitung auf \(B_\varepsilon(x')\) rechtfertigen können. \(x'\in\mathbb{H}\) war aber beliebig.



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Hallo sonnenschein96,

Danke dir abermals für deine Antworten. Das klingt alles einleuchtend - bis auf Integrierbarkeit deiner Majoranten, denn $C^{\alpha}$ auf $|y|<2C$ ist doch sicher nicht integrierbar, da der Integrationsbereich unbeschränkt und die Majorante konstant ist - oder verstehe ich dich falsch ? 😃

Grüße

Edit: ich merke gerade, dass obiges natürlich ein Schwachsinn ist 😄 Der Integrationsbereich ist natürlich beschränkt



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