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  Zu Gruppendarstellungen |
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Phoensie
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
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\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier
Satz.
Für jede Darstellung $\rho: G \to \mathrm{GL}(n;K)$ und jeden linearen Charakter $\chi$ von $G$ ist die Abbildung
\[
\begin{align*}
\chi\rho: G \to \mathrm{GL}(n;K),\;x \mapsto \chi(x)\rho(x)
\end{align*}
\]
wieder eine Darstellung von $G$.
Meine Frage: Genügt es für einen Beweis, sich auf die Eigenschaften der Determinantenfunktion zu stützen? ($\chi(x)$ ist ja eine Zahl im Körper $K$, und nicht das Nullelement; damit kann man doch einfach die skalare Homogenität der Matrizen nutzen und schliessen, dass die Determinante von $\chi(x)\rho(x)$ nicht verschwindet?)🤔
LG Phoensie\(\endgroup\)
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Triceratops
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-08
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Was ist die "die skalare Homogenität der Matrizen"?
Jedenfalls musst du vor allem zeigen, dass die Abbildung ein Homomorphismus von Gruppen ist.
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Phoensie
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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Sei $\chi: G \to \mathrm{GL}(1;K) = K \setminus \{0_K\}$ ein linearer Charakter. Somit ist $\chi(x)$ ein nichtverschwindender Skalar in $K$.
Notation: Zei $[A]_{ik}$ der Matrixeintrag der Matrix $A$ in der $i$-ten Zeile, $k$-ten Spalte.
Dann ist:
\[
\begin{align*}
\chi(x)\rho(x)
&= \chi(x)
\begin{pmatrix}
[\rho(x)]_{11} & \ldots & [\rho(x)]_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
[\rho(x)]_{n1} & \ldots & [\rho(x)]_{nn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\chi(x)[\rho(x)]_{11} & \ldots & \chi(x)[\rho(x)]_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\chi(x)[\rho(x)]_{n1} & \ldots & \chi(x)[\rho(x)]_{nn}
\end{pmatrix}
\\
\\
\implies \det\big(\chi(x)\rho(x)\big)
&=
\begin{vmatrix}
\chi(x)[\rho(x)]_{11} & \ldots & \chi(x)[\rho(x)]_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\chi(x)[\rho(x)]_{n1} & \ldots & \chi(x)[\rho(x)]_{nn}
\end{vmatrix}
\\
&= \big(\chi(x)\big)^n
\begin{vmatrix}
[\rho(x)]_{11} & \ldots & [\rho(x)]_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
[\rho(x)]_{n1} & \ldots & [\rho(x)]_{nn}
\end{vmatrix}
\\
&= \underbrace{\big(\chi(x)\big)^n}_{\neq 0_K} \underbrace{\det\big(\rho(x)\big)}_{\neq 0_K} \\
&\neq 0_K.
\end{align*}
\]
Soll ich also zeigen, dass
\[
\chi(x)\rho(x)\chi(y)\rho(y) = \chi(xy)\rho(xy)
\]
ist?\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-08
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Ja, das zeigt, dass die Matrix invertierbar ist (was wie gesagt noch nicht die ganze Miete ist). Ich denke allerdings, dass man hier keine Determinanten verwenden muss. Du brauchst doch lediglich die triviale Aussage, dass das Produkt von zwei invertierbaren Matrizen wieder invertierbar ist (betrachte $\chi(x) \cdot 1_n$). Oder alternativ: Für $\lambda \in K^{\times}$ und $A \in GL_n(K)$ ist auch $\lambda A \in GL_n(K)$, weil $\lambda^{-1} A^{-1}$ dazu invers ist.
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Phoensie
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08
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Seien also $x,y \in G$. Weil $\chi(x),\chi(y) \in K\setminus\{0_K\}$ sind, gilt bereits schon mal
\[
\chi(x)\rho(x)\chi(y)\rho(y)
=\chi(x)\chi(y)\rho(x)\rho(y)
=\chi(xy)\rho(x)\rho(y)
\]
wobei die zweite Gleichheit aus der Homomorphie von $\chi$ folgt.
(muss ich für die erste Gleichheit noch weitergehende Rechtfertigung tätigen? Das ist doch einfach die Grundeigenschaft der Multiplikation von Matrizen mit Skalaren (eintragsweise, daher kommutativ))
Zu zeigen bleibt nun $\rho(x)\rho(y) = \rho(xy)$, was aber nach Voraussetzung erfüllt ist, da $\rho$ eine Darstellung und somit homomorph ist.\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-08
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Ja, richtig. Du kannst dir auch allgemeiner überlegen (siehe auch dein anderer Thread): Seien $f,g : G \to H$ zwei Homomorphismen von Gruppen. Es gelte $f(x) g(y) = g(y) f(x)$ für alle $x,y \in G$. Dann ist auch $f \cdot g : G \to H$ ein Homomorphismus von Gruppen. Der Beweis ist derselbe Einzeiler.
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Phoensie
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-08
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Aaaah, dann macht es auch Sinn, dass wir beide Aufgaben auf der Serie haben. Super, danke für deine Tipps.😁👍
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Red_
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-23
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Hallo,
bin zufällig hier drüber gestolpert. Für interessierte Beginner:
Diese Konstruktion ist sehr natürlich. In der Tat ist diese obige Darstellung isomorph (als Darstellung) zu dem Tensorprodukt von den beiden Darstellungen. Hier meine Notizen dazu von damals:
p 1-dim. repr. of G and q repr. of G. We will write p:G->K^x instead of GL(K) (identify p(g) with p_g(1) - this is the isomorphism between GL(K) and K^x). The tensorproduct of these two repr. is isomorphic to the repr. sending
g to the linear map p(g)*q_g. Moreover this repr. is irred. iff q is irred.
Die Idee dabei ist, wenn man irreduzible Charaktere hat, dass man aus den schon vorhandenen so viele neue wie nur möglich konstruieren möchte. Und das Tensorprodukt von Darstellungen ist wirklich fundamental für eine schöne Theorie (das Tensorprodukt mittels Matrizen ist abartig).
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Themenstart: 2020-11-08