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Autor |
Potential einer zeitabhängigen Funktion |
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Dreadwar
Aktiv  Dabei seit: 19.04.2019 Mitteilungen: 165
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Hallo liebe Leute,
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
 
Gegeben ist die Parametrisierung einer Ellipse durch x^> = a*cos(\omega*t)*e^>_1 + b*sin(\omega*t)*e^>_2 in kartesischen Koordinaten. Zunächst soll die Kraft berechnet werden, die auf einen Massepunkt mit konstanter Masse m wirken muss, damit sich dieser auf der Ellipse bewegt. Das habe ich angesetzt mit F^>=m*a^> = m*(d^2 x^>)/dt^2 = -m*\omega^2*x^> Nun soll das Potential V(x^>) bestimmt werden. Mich verwirrt die Zeitabhängigkeit ein wenig. Integriert man da einfach die jeweilige Komponente nach x_1 bzw. x_2, also F^> = -grad(V(x^>)) => V(x^>) = m*\omega^2*(x_1*a*sin(\omega*t)+x_2*b*sin(\omega*t)) ? Liebe Grüße Dreadwar
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zippy
Senior  Dabei seit: 24.10.2018 Mitteilungen: 2015
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-09
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2020-11-09 22:47 - Dreadwar im Themenstart schreibt:
Mich verwirrt die Zeitabhängigkeit ein wenig.
Du musst zwischen Bahnkurven $t\mapsto\mathbf x(t)$ und Orten $\mathbf x$ unterscheiden.
Aus der Berechnung der Beschleunigung $\ddot{\mathbf x}(t)$, die ein Massepunkt auf einer seiner Bahnkurve $\mathbf x(t)$ erfährt, hast du eine Gleichung für ein Kraftfeld $\mathbf x\mapsto\mathbf F(\mathbf x)$ erhalten:$$
m\,\ddot{\mathbf x}(t) =
-m\,\omega^2\,\mathbf x(t) \stackrel!=
\mathbf F\bigl(\mathbf x(t)\bigr) \quad\implies\quad
\mathbf F(\mathbf x) = -m\,\omega^2\,\mathbf x
$$Zu diesem Kraftfeld musst du jetzt ein Potential $V$ mit$$
-\nabla V(\mathbf x) = \mathbf F(\mathbf x)
$$suchen. Eine Zeit tritt hier nicht mehr auf. Und die Lösung $\displaystyle V(\mathbf x) = \frac{m\,\omega^2}2\,|\mathbf x|^2$ kannst du leicht durch Ableiten verifizieren.
--zippy
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Dreadwar
Aktiv  Dabei seit: 19.04.2019 Mitteilungen: 165
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-10
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Hallo Zippy,
vielen Dank für die Antwort, das macht Sinn!
Liebe Grüße
Dreadwar
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