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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Darstellende Matrix von Summen von Endomorphismen
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Universität/Hochschule J Darstellende Matrix von Summen von Endomorphismen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-12


Hallo zusammen,

ich mache mir gerade Gedanken darüber, ob folgende Aussage gilt:

Seien $f,g \in End(V)$ und B eine Basis von V.
Dann gilt $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f+g) = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f) + \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$.

Ist diese Aussage allgemein gültig?
Falls ja, wie könnte man sie beweisen?

Wie immer bin ich für jede Antwort sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-12


Welche Gedanken hast du dir denn bisher gemacht? Hast du zum Beispiel angefangen, die Definitionen einmal zu benutzen und aufzuschreiben, was dabei für die Matrix von f+g herauskommt?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12


Hallo Triceratops,

sei $C = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f)$ und $D= \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$ und eine Basis $(v_1, ..., v_n)$ gegeben. Sei $E = C + D$.

Dann gilt ja $f(v_k) = c_{1k} v_1 + c_{2k} v_2 + ... + c_{nk} v_n$ und
$g(v_k) = d_{1k} v_1 + d_{2k} v_2 + ... + d_{nk} v_n$ für alle $1 \le k \le n$.

Es folgt $(f+g)(v_k) = f(v_k) + g(v_k) = (c_{1k} + d_{1k})v_1 + (c_{2k} + d_{2k})v_2 + ... + (c_{nk} + d_{nk})v_n = e_{1k}v_1 + ... + e_{nk}v_n$.

Also ist ja $\mathbin{\sideset{_E}{_E}{\mathop{M}}}(f+g)$ ?

Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-12


Dein Beweis endet mit einer Frage. Beweise sollten immer aus Aussagen bestehen.

Du schreibst ${}_E M_E (f+g)$. Das ist zum einen keine Aussage, zum anderen nicht wohldefiniert, weil $E$ eine Matrix ist. Du meintest etwas anderes.

Du schreibst "eine Basis $(v_1,\dotsc,v_n)$", was aber nicht passt. Es muss $B = (v_1,\dotsc,v_n)$ sein.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12


Hi Triceratops,

ja klar, stimmt!

Ich meinte, wenn E = C + D ist, und $C = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f)$ sowie $D = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$ dann ergibt sich aus den Rechnungen, dass $E = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f) + \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$ die darstellende Matrix von $f + g$ bzgl. B ist, also $E = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f+g)$.

Fehlt noch etwas in der Argumentation?


Viele Grüße,
X3nion


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-12


2020-11-12 17:57 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
Fehlt noch etwas in der Argumentation?

Wenn du denkst, dass noch etwas fehlt, dann fehlt noch etwas. 😉



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-12


Mhm diese Implikation gilt ja nur im Falle, dass ich denke, dass noch etwas fehlt. Also denke ich, dass nichts mehr fehlt 😃 Was ist nun deine Antwort? 😉

Viele Grüße,
X3nion


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-13


Hallo zusammen,

würde es schon stimmen, wie ich es bewiesen habe?
Ich denke, es sollte so passen?
Ich wäre euch dankbar, wenn ihr kurz einen Blick drauf werfen könntet! 🙂

Behauptung
Seien $f,g \in End(V)$ und B eine Basis von V.
Dann gilt $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f+g) = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f) + \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$.

Beweis

Sei $C = \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f)$ und $D= \mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(g)$ und eine Basis $B = (v_1, ..., v_n)$ gegeben. Sei $E = C + D$, wobei $E = (e_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$, $C = (c_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und $D = (d_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$ .

Dann gilt $f(v_k) = c_{1k} v_1 + c_{2k} v_2 + ... + c_{nk} v_n$ und
$g(v_k) = d_{1k} v_1 + d_{2k} v_2 + ... + d_{nk} v_n$ für alle $1 \le k \le n$.

Es folgt $(f+g)(v_k) = f(v_k) + g(v_k) = (c_{1k} + d_{1k})v_1 + (c_{2k} + d_{2k})v_2 + ... + (c_{nk} + d_{nk})v_n = e_{1k}v_1 + ... + e_{nk}v_n$
für alle $1 \le k \le n$.

Also ist $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f+g) = E$



Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-13


Wie gesagt:

2020-11-12 17:47 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Du schreibst "eine Basis $(v_1,\dotsc,v_n)$", was aber nicht passt. Es muss $B = (v_1,\dotsc,v_n)$ sein.

Du kannst übrigens gleich eine allgemeinere Aussage zeigen (derselbe triviale Beweis funktioniert): Seien $V,W$ endlich-dim. $K$-Vektorräume mit Basen $B=(v_1,\dotsc,v_n)$ bzw. $C=(w_1,\dotsc,w_m)$. Seien $f,g : V \to W$ linear. Dann gilt

${}_B M_C (f+g) = {}_B M_C(f) + {}_B M_C(g)$

Man kann auch ${}_B M_C (\lambda \cdot f) = \lambda \cdot {}_B M_C (f)$ für $\lambda \in K$ zeigen (im Beweis passiert wieder nichts). Das heißt also, dass die Abbildung

$\mathrm{Hom}(V,W) \to M_{m \times n}(K),\, f \mapsto {}_B M_C (f)$

linear ist. Und bekanntlich ist sie auch bijektiv, und daher ein Isomorphismus von Vektorräumen.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-13


Hi Triceratops,

ohman, da stand ich mal wieder auf dem Schlauch .. das zeigt ja eben gerade, dass die Matrixdarstellung linear ist...

Vielen Dank dir! Nun hast du mir das Brett von meinem Kopfe entfernt. 🙃

Viele Grüße,
X3nion


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Jetzt habe ich doch noch drei kleine Fragen (aller guten Dinge sind ja bekanntlich 3) zu einem Beweis über die Bijektivität:

Sei $B = (v_1, ... , v_n)$ eine Basis von V, und sei $C = (w_1, ... ,w_m)$ eine Basis von W. Dann ist die Abbildung $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}: Hom_K(V,W) \to M_{mn}(K)$ ein Isomorphismus.

Die Linearität sei bewiesen. Es bleibt zu zeigen, dass $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}} $bijektiv ist. Dazu sei $A = (a_{ij}) \in M_{mn}(K)$, und seien
B und C die gewählten Basen von V und W.
Dann wird durch
$f_A(v_j) = a_{1j}w_1 + a_{2j}w_2 + · · · + a_{mj}w_m$, für alle $1 \le j \le n$,
eindeutig eine lineare Abbildung $f_A : V \to W$ definiert. Jeder $m \times n-$Matrix A können wir also eine lineare Abbildung $f_A$ zuordnen, und wir definieren nun eine Abbildung von $M_{mn}(K)$ nach $Hom_K(V,W):$

$F : M_{mn}(K) \to Hom_K(V,W)$ durch $F(A) = f_A$ für alle $A \in M_{mn}(K)$.

Sei $A \in M_{mn}(K)$. Dann ist $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}(f_A) = A$. Umgekehrt sei $f \in Hom_K(V,W)$, und
sei $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}(f)$ die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen B und C. Dann gilt
$f_{\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}(f)} = f$. Dies zeigt, dass $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}$ invertierbar ist, und somit bijektiv.


Frage 1) Ist $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}(f_A) = A$, weil A die darstellende Matrix von $f_A$ bzgl. der Basen B und C ist?

Frage 2) Wieso gilt $f_{\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}(f)} = f$ ? Und was meint man hier mit "umgekehrt" in diesem Beweisschritt?

Frage 3) Wieso folgt aus alledem, dass $\mathbin{\sideset{_C}{_B}{\mathop{M}}}$ invertierbar ist? Wie ist der Beweis aufgezogen?


Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir das erklären könntet!


Viele Grüße,
X3nion


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1) und 2): Prüfe es einfach nach. Bei den Rechnungen passiert nichts außer das Einsetzen von Definitionen.

3) Ein Isomorphismus von Vektorräumen ist eine invertierbare lineare Abbildung.



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Alles klar, es ergibt nun Sinn :)

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X3nion


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X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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