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  Satz von Maschke (Darstellungstheorie) |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 272
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
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\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Schönen Nachmittag allerseits!
Wir haben den Satz von Maschke im Darstellungstheorie-Sinn kennengelernt:
Satz (Maschke). Jede Darstellung $\rho: G \to \operatorname{GL}(n;\C)$ einer Gruppe $G$ mit Grad $\deg(\rho)=n \in \N^*$ ist entweder irreduzibel oder ähnlich zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen von $G$.
Dabei bezeichnen wir zwei Darstellungen $\rho_1,\rho_2$ von $G$ als ähnlich, wenn eine invertierbare Matrix $S$ existiert, sodass $\rho_1(x) = S^{-1}\rho_2(x)S$ unabhängig von $x \in G$ gilt.
Den Beweis, den wir behandelt haben, verwendet eine vollständige Induktion über $\deg(\rho)=n$, und den verstehe ich auch. Jedoch treffe ich im Internet zuhauf Quellen (z.B. hier), die die Gruppe $G$ als endlich voraussetzen.
Gibt es denn ein (nicht allzu kompliziertes) Gegenbeispiel, das zeigt, dass er für unendliche Gruppen nicht gilt? Ich sehe nicht wirklich ein, warum diese Voraussetzung nötig ist...
LG Phoensie\(\endgroup\)
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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 316
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-19
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Hallo Phoensie,
ja, da gibt es ein einfaches Gegenbeispiel: Betrachte $G=\mathbb{C}$ mit der Addition als Verknüpfung. Dann können wir eine Darstellung von $G$ definieren durch
\[ \rho: G \to \mathrm{GL}(2;\mathbb{C}), a \mapsto \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Diese Darstellung lässt ist nicht irreduzibel, denn der von $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ erzeugte Unterraum von $\mathbb{C}^2$ ist invariant unter dieser Darstellung. Allerdings ist das auch der einzige eindimensionale invariante Unterraum, weshalb $\rho$ nicht ähnlich sein kann zu einer direkten Summe von zwei Darstellungen vom Grad 1.
Gruß,
David
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 272
Herkunft: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-19
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Ahaaaaa! Ja, danke David. Das ist einleuchtend.🤗
Einen schönen Abend wünsche ich; lg Phoensie.
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Triceratops
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27
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2020-11-19 15:21 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Satz (Maschke). Jede Darstellung $\rho: G \to \operatorname{GL}(n;\C)$ einer Gruppe $G$ mit Grad $\deg(\rho)=n \in \N^*$ ist entweder irreduzibel oder ähnlich zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen von $G$.
Das ist eine seltsame Formulierung.
1) Auch eine irreduzible Darstellung ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen (eben von genau einer). Das "entweder oder" passt hier nicht. Aber auch das "oder" wäre redundant.
2) Vermutlich meint $n \in \IN^*$, dass der Fall $n=0$ ausgeschlossen wird. Das muss er aber nicht. Die triviale 0-dimensionale Darstellung ist eine leere Summe irreduzibler Darstellungen. Mehr dazu:  Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
Der Satz von Maschke sagt, dass unter geeigneten Voraussetzungen (zum Beispiel wenn $G$ endlich und die Charakteristik des Körpers teilerfremd zur Ordnung von $G$ ist) jede endlich-dimensionale Darstellung eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen ist.\(\endgroup\)
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