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Universität/Hochschule Tschebychevsche Ungleichung, Lebesgue-Integral
Majazakava Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Themenstart: 2020-11-21 23:21

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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22 00:04

Hallo Majazakava,

es gilt \(c\chi_{\{|f|\geq c\}}\leq |f|\). Nun musst Du eigentlich nur beide Seiten integrieren, um die Tschebychev-Ungleichung zu erhalten. Auf die linke Seite kannst Du direkt die von Dir gegebene Definition anwenden (mit einem Summanden), da sie ja von der Form \(c\chi_A\) ist, es kommt dann \(c\mu(A)\) heraus.



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GaussGauss Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-22 08:47

Hallo,

Schreibe das Maß auf der linken Seite als ein Integral und verwende dann noch eine Abschätzung, die sich direkt aus der Definition der Superniveaumenge ergibt! :)

Grüße



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Majazakava Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 21:26

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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-22 21:41

Ja das war's tatsächlich schon :)

Normalerweise schreibt man übrigens die Menge über welche integriert wird rechts unten und nicht links unten neben das Integral.



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Majazakava Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 21:31

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AnnaKath Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-23 22:15

Huhu Majazakava,

einfach $\infty$ einzusetzen ist wohl nicht ganz sauber (obwohl es natürlich der Intuition hilft). Aber Du kannst Dir natürlich überlegen, dass $\mu(\{|f|=\infty\}) \leq \mu(\{|f|\geq C\})$ für alle $C>0$ gilt und dann mit Hilfe der Ungleichung daraus die erste Behauptung herleiten.
Für die zweite Beziehung kannst Du $\mu\geq 0$ ausnutzen und  mit Hilfe der Ungleichung somit $\mu(\{|f|\geq \epsilon\})=0$ für alle $\epsilon>0$ herleiten.

lg, AK.



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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-23 22:18

Wir hatten uns die Ungleichung erstmal nur für (reelle) \(c>0\) überlegt, daher ist das mit dem Einsetzen etwas heikel. Aber die Ungleichung \(c\mu(\{|f|\geq c\})\leq\int_X|f|\,d\mu\) folgt mit der selben Rechnung auch für \(c=\infty\). Wenn nun also \(\int_X|f|\,d\mu<\infty\) ist, dann folgt aus \(\infty\cdot\mu(\{|f|\geq \infty\})<\infty\), dass \(\mu(\{|f|= \infty\})=\mu(\{|f|\geq \infty\})=0\) ist.

Aus \(\int_X|f|\,d\mu=0\) folgt ja mit der Tschebychev-Ungleichung, dass \(\mu(\{|f|\geq c\})=0\) für alle \(c>0\). Dass \(f\) f.ü. verschwindet, bedeutet \(\mu(\{|f|>0\})=0\). Du musst Dir also überlegen, wie aus \(\mu(\{|f|\geq c\})=0\) für alle \(c>0\) folgt, dass \(\mu(\{|f|>0\})=0\) ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.6 begonnen.]



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Majazakava Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 23:14

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sonnenschein96 Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-24 01:49

Zum ersten Teil: In der Herleitung von \(c\mu(\{|f|\geq c\})\leq\int_X|f|\,d\mu\) wurde nur die Definition des Integrals einer Indikatorfunktion und die Monotonie des Integrals verwendet, was auch für Funktionen mit Werten in \([0,\infty]\) gilt. Daher kannst Du im Prinzip dort \(c=\infty\) einsetzen. Da \(f\) integrierbar ist, folgt nun, dass \(\mu(\{|f|\geq \infty\})=0\) sein muss (sonst würde links \(\infty\) stehen). \(|f(x)|=\infty\) und \(|f(x)|\geq\infty\) sind natürlich äquivalent (wobei \(|f(x)|\geq\infty\) etwas komisch aussieht wie ich finde, man könnte auch gleich mit \(\{|f|=\infty\}\) arbeiten).

Wichtig ist bei diesen Argumenten vor allem, dass man genau festlegt, welche Regeln beim Rechnen mit \(\infty\) gelten sollen. Ich gehe mal davon aus, dass ihr gewisse Regeln wie etwa \(\infty\cdot 0=0\) und \(\infty\cdot a=\infty\) für \(a>0\) festgelegt habt. Man teilt in der Regel aber nicht durch \(\infty\), so wie Du es ja ursprünglich tun wolltest.

Wenn es Dich stört mit \(\infty\) zu rechnen, kannst Du auch einfach von der Ungleichung \(\mu(\{|f|=\infty\})\leq\mu(\{|f|\geq c\})\leq\frac{1}{c}\int_X|f|\,d\mu\) für alle reellen \(c>0\) ausgehen und \(c\) gegen unendlich gehen lassen. Wegen \(\int_X|f|\,d\mu<\infty\) geht die rechte Seite gegen \(0\) und es folgt \(\mu(\{|f|=\infty\})=0\).


Zum zweiten Teil: Naja was heißt es ist "klar"? Ich würde behaupten, dass der Beweis davon nicht schwierig ist, aber begründen musst Du es trotzdem. Wenn Du es nicht begründen kannst, ist es Dir offenbar auch nicht klar. Es ist an dieser Stelle sogar sehr wichtig, das sauber zu begründen, da die Aussage für endlich additive \(\mu\) im Allgemeinen sogar falsch wäre. Die \(\sigma\)-Additivität von \(\mu\) ist also was Du benötigst.



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