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Universität/Hochschule Erzeugnis einer Menge
Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-22 10:43


Guten Tag ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Sei G eine Gruppe und a, b ∈ G zwei Elemente. Zeigen Sie, daß die
von (a,b) und die von (bab^2 , bab^3) erzeugten Untergruppen gleich sind.

Grundsätzlich ist die Aufgabe nicht besonders schwierig ich fange an mit sei x aus dem Erzeugnis von (a,b) und möchte Zeigen, dass es dann auch aus der anderen Menge ist und umgekehrt. Nun ist die Frage aber, wie kann ich dieses x angeben ?

die von a,b erzeugte Untergruppe hat ja die Form aller Produkte mit a und b und deren Inversen. d.h x hat die form x= l1*l2*......*lk mit li aus der Menge (a,b,a^-1 b^-1). Damit lässt sich aber sichtlich schlecht arbeiten. Schöner wäre es eine explizite Angabe für x machen zu können (z.b x= a^k * b^k). Ein Analoges Problem habe ich bei folgendes Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass die von den Kommutatoren einer Gruppe G erzeugte Untergruppe ein Normalteiler in G ist"

Wieder ist die Aufgabe eigentlich ganz einfach, ich fange an mit sei x aus der von den Kummatotoren erzeugten Untergruppe und will zeigen, dass für beliebige g aus G gilt gxg ist aus der von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe. Wieder ist die Frage, wie sieht x aus. Ich habe die Aufgabe gelöst, indem ist sage x=[h,c], mit h,c aus G (so kann man die Mengenbeziehung leicht zeigen), aber das ist ja falsch, weil das ja ein Element aus der Menge alles Kommutatoren ist und nicht auf der von Ihnen erzeugten Untergruppe. Eigentlich müsste x allgemeiner die Form habe: x= [l1,l2]*.......[lk-^1, lk] mit li aus G, aber so kann ich wieder nicht rechnen, weil das nicht konkret genug ist. Die Frage ist nun, ob man in so einem Fall x aus der Menge der Kommutatoren nehmen kann, weil ja diese unsere Menge erzeugt, d.h wenn es für diese gilt so gilt es auch für die erzeugte Untergruppe, aber kann man das so machen ?

Ich danke jedem für die Hilfe ;)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22 10:50


Hallo,

du musst nur zeigen, dass $bab^2$ und $bab^3$ im Erzeugnis von $a$ und $b$ liegen (das ist einfach) und dass $a$ und $b$ im Erzeugnis von $bab^2$ und $bab^3$ liegen (das ist etwas schwerer).

Zeige für die zweite Richtung zuerst, dass $b\in \langle bab^2, bab^3\rangle$. Dann gilt nämlich $\langle bab^2, bab^3\rangle=\langle b, bab^2, bab^3\rangle$ und somit musst du nur noch $a\in \langle b, bab^2, bab^3\rangle$ zeigen.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-22 11:18


Die entscheidende Beobachtung ist hier

$bab^3 = bab^2 \cdot b$



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 12:22


Vielen Dank für eure Antworten, ich verstehe, es reicht zu zeigen, dass die Erzeuger in der anderen Menge enthalten sind und da das eine Untergruppe ist muss dann schon die gesamte Menge drin liegen... eigentlich ganz logisch.

Ich hätte trotzdem noch eine Frage zur anderen Aufgabe: (ich schreibe sie mal hier nochmal)
"Zeigen Sie, dass die von den Kommutatoren einer Gruppe G erzeugte Untergruppe ein Normalteiler in G ist"

Sei K die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe, d.h ich muss zeigen, für alle g aus G gilt: gKg^-1 ist eine Teilmenge von K in anderen Worten, sei x aus K dann gilt gxg^-1 ist aus K, dafür muss ich x näher bestimmen. Meine herangehensweise ist zu sagen x=[a,b] mit a,b aus G dann gilt:

g[a,b]g^-1 = [ga,b]*[g,b]^-1, was wieder aus K ist. Einziges Problem warum hat x die Form eines Kommutators. Warum kann ich sagen wenn x aus K dann folgt x=[a,b]. Kann man das so machen, falls ja warum ?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-22 14:09


Nein, $x$ ist ein Produkt aus Kommutatoren. Das macht den Beweis aber nicht wesentlich schwieriger.

Es gilt übrigens einfach $g [a,b] g^{-1} = [g a g^{-1}, g b g^{-1}]$. Tatsächlich gilt für jeden Homomorphismus $\varphi$ die Gleichung $\varphi([a,b])=[\varphi(a),\varphi(b)]$ (aus trivialen Gründen), und $\varphi(a) := g a g^{-1}$ ist ein Homomorphismus (sogar Automorphismus).

Du kannst dir damit auch allgemeiner überlegen: Wenn eine Untergruppe unter allen Automorphismen invariant ist, dann ist sie ein Normalteiler.



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 17:13


Hey danke für deine Antwort ich verstehe leider nicht ganz das Argument.
Das f([a,b])=[f(a),f(b)]für jeden Homomorphismus gilt leuchtet mir ein. Aber was hat das damit zu tun das die von den Kommutatoren erzeugte Gruppe ein Normalteiler ist ? Dafür müsste ich doch eine Abbildung finden, die diesen Unterraum als Kern hat oder ähnliches ?



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Student10023
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23 19:08


folgender Vorschlag:

Sei g aus G und x aus [G:G], dann gilt

gxg^-1= g*x*g^-1*x^-1*x = [g, x]*x, da beides Elemente aus [G:G]sind und dies eine Untergruppe ist muss also auch gxg^-1 aus [G:G] sein und wir sind fertig.
Ist das so richtig ?
(falls es möglich ist würde mich trotzdem Dein Weg interessieren über die Abbildungen ;))

 



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