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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Skalarprodukt - Vektor-Komponenten
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Universität/Hochschule Skalarprodukt - Vektor-Komponenten
Celtic965
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-22 14:15


Hi,

ich konnte mit externer Unterstützung Bsp a) berechnen.



Lösung (a):

c = strichlierter Vektor zwischen a und a||
a|| = ß * b (laut Angabe)
------------------------------

a + a|| = c
c = a − a∥ = a − β*b

Orthogonalität:
0 = c ∗ b = (a − βb) * b = ab − βb² => ß = ab/b².



Könnte mir bitte jemand bei Aufgabe (b) weiterhelfen?


[Bei c) müsste man mMn einfach mit der Vektor-Komponenten in die Formeln einsetzen bzw. die Skalarprodukte kalkulieren.]


Danke im Voraus



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22 14:41

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-11-22 14:15 - Celtic965 im Themenstart schreibt:
ich konnte mit externer Unterstützung Bsp a) berechnen.

Lösung (a):

c = strichlierter Vektor zwischen a und a||
a|| = ß * b (laut Angabe)
------------------------------

a + a|| = c
c = a − a∥ = a − β*b

Das passt nicht zusammen. Die zweite Gleichung ist richtig, die erste jedoch falsch. Ein Vektor kann nicht gleichzeitig Summe und Differenz zweier Vektoren sein (sofern der Nullvektor nicht beteiligt ist).

Da aber wie gesagt die zweite Gleichung stimmt, ist auch das folgende bis auf die Schreibweise richtig:

2020-11-22 14:15 - Celtic965 im Themenstart schreibt:
Orthogonalität:
0 = c ∗ b = (a − βb) * b = ab − βb² => ß = ab/b².

2020-11-22 14:15 - Celtic965 im Themenstart schreibt:
Könnte mir bitte jemand bei Aufgabe (b) weiterhelfen?

Verwende die Eigenschaft von Einheitsvektoren, dann bist du sofort fertig (was ist \(\hat{b}^2\)?).

2020-11-22 14:15 - Celtic965 im Themenstart schreibt:
[Bei c) müsste man mMn einfach mit der Vektor-Komponenten in die Formeln einsetzen bzw. die Skalarprodukte kalkulieren.]

Ja, das ist dann pure Rechnerei.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Celtic965
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 18:34


Hi Diophant,

danke für die freundliche Aufnahme und die Erklärung!

Bin erst dieses Wochenende in das Thema eingestiegen (brauche dies im BWL-Alltag nicht)... ok b^² muss ich mir tatsächlich genau ansehen!

Ebenso den hint mit dem Einheitsvektor, werde mal Literatur/youtube durchstöbern.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-22 18:38

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

schaue genau hin, ich sprach von dem Term \(\hat{b}^2\), wobei mit \(\hat{b}\) laut deiner Aufgabe der zu \(b\) gehörige Einheitsvektor gemeint ist. Welchen Wert hat dann also der Term \(\hat{b}^2\)?

Welchen Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Standardskalarprodukt kennst du?

PS: Mathe braucht man immer. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Celtic965
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 20:39


Sorry für späten reply, kollege brauchte dringend was wegen bewerbung.


Also Einheitsvektor, ist von gegebenen Vektor (hier b), jener Vektor der die Länge = 1 besitzt.

Einheitsvektor b0 = 1/|b| * b = 1    wobei |b| = Wurzel (b1² + b2² + ... + bn²)

Skalarproduktvektor:
Formel lautet |a| * |b| * cos(y).


Wegen der Abstraktheit des Bsp) ohne konkreter Werte, muss ich nochmal logisch kombinieren, wie die Zusammenhänge genau sind.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-22 20:49

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nicht so kompliziert denken. Du musst nichts weiter tun, als in die Formel

\[a_{\shortparallel}=\frac{a\cdot b}{b^2}b\]
mit dem Einheitsbektor \(\hat{b}\) anstelle von \(b\) einzugehen. Dann steht das zu zeigende da.

Eine erneute Argumentation mit \(\left|\hat{b}\right|=1\) liefert dann die zweite Behauptung \(\left|a_{\shortparallel}\right|=\left|a\cdot\hat{b}\right|\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Celtic965
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 22:06


Vielen Dank! Es wird mir das ganze Thema etwas klarer.

Ich hatte in meiner Vorstellung dauernd, dass bei a * b -> der Vektor autom. woanders liegen muss als auf a||

Aber der wird ja durch Division/Multipl. mit b wieder verschoben, bis man bei a|| landet.

LG



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Celtic965
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-22 23:05


Sorry bin ich jetzt beim komplett verwirrt, oder heben sich die b bzw. b^ im Zähler/Nenner beim Einsetzen nicht gegenseitig auf ?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-23 07:15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-22 23:05 - Celtic965 in Beitrag No. 7 schreibt:
Sorry bin ich jetzt beim komplett verwirrt, oder heben sich die b bzw. b^ im Zähler/Nenner beim Einsetzen nicht gegenseitig auf ?

Nein, so einfach ist es nicht. Wir sprechen hier von Vektoren. In Vektorräumen gibt es keine Division, also hebt sich hier auch nichts gegenseitig auf.

Verwende die Beziehung \(a\cdot a=|a|^2\) zusammen mit der Definition des Einheitsvektors. Beachte auch: das Skalarprodukt ist kein Vektor, sondern eine (bilineare) Abbildung in den zugrundeliegenden Körper, hier also schlicht \(\IR\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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