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Universität/Hochschule J Darstellungstheorie - Irreduzibilität
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier

Aufgabe:
Sei $\rho: G \to \mathrm{GL}(n;\C)$ eine Darstellung der endlichen Gruppe $G$. Beweise, dass $\rho$ genau dann irreduzibel ist, wenn jede Matrix $M \in \C^{n \times n}$ mit $M\rho(x) = \rho(x)M,\forall x \in G,$ von der Gestalt $M=\lambda E$ für ein Skalar $\lambda \in \C$ ist.

Wir haben in der Vorlesung $\rho$ irreduzibel $\iff \|\chi_{\rho}\|=1$ gezeigt ($\chi_\rho = \operatorname{Spur} \circ \rho : G \to \C$ ist der Charakter der Darstellung $\rho$).

Bei dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen:
1. Ist die zu zeigende Aussage eine Äquivalenz oder nur eine Implikation?
2. Wie gehe ich an dieses Problem ran? Ich steh da völlig auf dem Schlauch...

Gruss, Phoensie😵
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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-22


Hallo,
1) Wenn ,,genau dann wenn" vorkommt ist es eine Äquivalenz.
2) Hinrichtung müsste einfach sein für dich. Hier muss man nur ein Theorem anwenden. Bei der Rückrichtung könntest du die Kontraposition zeigen.

Ich hoffe, dass ihr die Darstellungstheorie mittels linearen Abbildungen aufzieht und nicht mittels Matrizen, wie es nahezu jedes Buch macht. Denn erst dort werden die Konstruktionen wirklich klar und die Beweise ebenso.
Falls dir der Wechsel zwischen linearen Abbildunge und Matrizen schwer fällt bzgl. Darstellungen, dann denk einfach daran, dass es eine Äquivalenz von Kategorien gibt zwischen diesen beiden Darstellungen von Gruppen (entweder mittels Matrizen oder linearen Abbildunge). Mittels des Funktors wird auch der ständige Wechsel, wie es in Büchern gemacht wird, klarer. Dort fangen die Propositionen immer an mit Darstellungen und linearen Abbildungen dazwischen. Dann wird der Beweis für den Matrixfall immer bewiesen. Ich hatte sehr große Probleme damit damals, aber dann habe ich mir schön alles aufgeschrieben und konnte sehen, dass am Ende nur ein Funktor ins Spiel kam...

Ok, so viel dazu... Also die Aufgabe möchte, dass du die Irreduzibilität einer Darstellung $(\rho, V)$ von G mit den $G$-Homomoprhismen von $(\rho, V)$ in sich selbst verbindest. Ausgeschrieben: Habt ihr vielleicht eine Formel für die Dimension von $\operatorname{Hom}_G((\rho,V),(\sigma,W))$ für zwei endlich dimensionale Darstellungen von $G$? So würde man die Äquivalenz der Aufgabe nämlich direkt bekommen.



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23

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Lieber Red_

2020-11-22 17:07 - Red_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich hoffe, dass ihr die Darstellungstheorie mittels linearen Abbildungen aufzieht und nicht mittels Matrizen, wie es nahezu jedes Buch macht. Denn erst dort werden die Konstruktionen wirklich klar und die Beweise ebenso.

Meine Dozentin verwendet zwar hin und wieder lineare Abbildungen in den Beweisen, um diese verständlich zu halten, aber alle Sätze und Lemmata, die wir bislang behandelt haben, wurden ausschliesslich in Matrixform diskutiert. Ich finde das zugegeben einigermassen mühsam (jedoch erlaube mir die Frage: Wie definiert man dann den Charakter einer Darstellung im Sinne für lineare Abbildungen?)

2020-11-22 17:07 - Red_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Ausgeschrieben: Habt ihr vielleicht eine Formel für die Dimension von $\operatorname{Hom}_G((\rho,V),(\sigma,W))$ für zwei endlich dimensionale Darstellungen von $G$? So würde man die Äquivalenz der Aufgabe nämlich direkt bekommen.

Nein, eine solche Formel ist mir unbekannt.

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23



(jedoch erlaube mir die Frage: Wie definiert man dann den Charakter einer Darstellung im Sinne für lineare Abbildungen?)
Die Spur kann man ja auf zwei Arten definieren.
Eine via Koordinaten:
Man wähle eine Basis und betrachte die darstellende Matrix der linearen Abbildung bzgl. dieser Basis und wähle dort Summe der Diagonaleinträge. Dann zeigt man, dass dies unabhängig von der gewählen Basis ist.
Eine andere Variante geht via Tensorprodukt und Dualraum, siehe hier.
Mit der letzten habe ich kaum Erfahrung, aber vielleicht wirst du in den Beweisen später sehen, dass viele Konstruktionen via Matrizen vom Himmel fallen, jedoch via linearen Abbildungen sie sehr natürlich auftreten.
Ein sehr gutes Beispiel für ein (in meinen Augen) schlechtes Buch ist das von Steinberg, wo nur mit Matrizen gearbeitet wird und man wirklich gar keinen Plan hat, woher die Rechnungen kommen und wozu das ganze, bis am Ende ein Theorem bewiesen wird...

Ich hoffe ich konnte dir bei deiner ursprünglichen Aufgabe helfen.

Darf ich fragen, nach welchem Buch ihr euch richtet in der Vorlesung?

Ich habe an diese Formel hier gedacht:



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Tipp: Die Voraussetzung entspricht der Bedingung, dass alle $\mathbb{C}[G]$-Endomorphismen $M$ deines $\mathbb{C}[G]$-Moduls $(\mathbb{C}^n, \rho)$ genau Skalarmultiplikationen sind.

Andererseits erhält man mit Schurs Lemma schöne Beschreibungen von $\mathbb{C}[G]$-Homomorphismen.

2020-11-23 15:20 - Red_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine andere Variante geht via Tensorprodukt und Dualraum, siehe hier.

Off-Topic: Das lässt sich übrigens auch für rigide Tensorkategorien verallgemeinern. Siehe z.B. das berühmte 1982 Paper von Deligne und Milne Tannakian Categories auf S. 10. (Wahrscheinlich findet man das auch in einigen Büchern, die monoidale Kategorien/Tensorkategorien behandeln.)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


2020-11-23 15:20 - Red_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Darf ich fragen, nach welchem Buch ihr euch richtet in der Vorlesung?

Unser Kurs orientiert sich nach Angabe der Professorin an Gerd Fischers Lehrbuch der Algebra und Michael Artins Algebra.

LG Phoensie



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