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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Klasseneinteilung für natürliche Zahlen
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Universität/Hochschule Klasseneinteilung für natürliche Zahlen
mathilda3001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-23


Hallo liebe Community :)
Ich hatte vor gut einer Woche bereits eine Frage zur Klasseneinteilung. Diese hat sich anhand der Antworten gut bewältigen lassen, weswegen ich es hier noch einmal versuche :)
Gegeben ist folgende Aufgabenstellung:

Für \( n \in \mathbb{N}_0 \) sei \( P_n \) \( := \{ 2^n \cdot ( 2y+1 ) \, | \,  y \in \mathbb{N}_0 \} \)

Begründen Sie, ob \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \) eine Klasseneinteilung von \( \mathbb{N} \) ist.

Das allgemeine Beweisen fällt mir total schwer, daher wäre ich um jeden Ansatz dankbar!

Mathilda



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-23


Hallo mathilda3001,

ein Ansatz wäre zu überlegen, welche Zahlen \(P_0,P1,P2,...\) enthalten. \(P_0\) enthält z. B. alle ungeraden Zahlen.



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mathilda3001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Das wurde bereits getan :)
Alle nachfolgenden P haben gerade Zahlen.
P1 enthält z.B.: 2, 6, 10, 14, 18, ...
P2 enthält z.B.: 4, 12, 20, 24, 28, ...
P3 enthält z.B.: 8, 24, 40, 56, ...
usw.
Nur weiß ich nicht so richtig, wie ich damit weiter vorzugehen habe ... 😐



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-23


Das ist schon mal gut.

Wenn es eine Partition der natürlichen Zahlen wäre, müsste ja folgendes gelten:

1. Jede natürliche Zahl liegt in mindestens einer der \(P_n\)

2. Keine natürliche Zahl liegt in mehr als einer der \(P_n\)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-23


"Klasseneinteilung" und "Partition" ist übrigens dasselbe.



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mathilda3001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Mir fällt gerade auf, dass ich mich verschreiben habe 🤫
Die 24 bei P2 muss natürlich gestrichen werden.

Die Voraussetzungen kann ich nachvollziehen - danke!

Nur leider komme ich immer noch nicht zum letztendlichen Lösungsweg 🤯 Stehe wohl absolut auf dem Schlauch ...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-23


2020-11-23 19:29 - mathilda3001 in Beitrag No. 5 schreibt:
Mir fällt gerade auf, dass ich mich verschreiben habe 🤫
Die 24 bei P2 muss natürlich gestrichen werden.

Ja, stimmt, sonst wäre ja sofort Bedingung 2 aus #3 verletzt.

Was ist denn dein Tipp, ist es eine Klasseneinteilung oder nicht?



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mathilda3001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Ich würde sagen, dass es sich um eine Klasseneinteilung handelt.
Wir haben die Definition so gelernt, dass es sich um eine Klasseneinteilung handelt, wenn die Schnittmenge leer ist. Genau das ist ja der Fall.
Demnach würde ich auf eine Klasseneinteilung schließen, weiß allerdings nicht, wie ich es mathematisch formulieren / beweisen kann. 🙄



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-23


Treffer! Es handelt sich tatsächlich um eine Klasseneinteilung.

2020-11-23 19:42 - mathilda3001 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wir haben die Definition so gelernt, dass es sich um eine Klasseneinteilung handelt, wenn die Schnittmenge leer ist. Genau das ist ja der Fall.
Das ist allerdings nur die halbe Wahrheit. Zusätzlich muss die Vereinigung die Gesamtmenge ergeben. (Das ist die Bedingung 1 aus Beitrag #3.)

Nehmen wir also mal eine beliebige natürliche Zahl z her. Du musst also zeigen, dass diese in genau einer Menge \(P_n\) liegt. Diese Zahl z lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Z. B. sei
z = 2*2*2*2*3*3*5*61
Siehst du jetzt vielleicht sofort, in welcher Menge z liegt? Falls ja, ist der allgemeine Fall nicht mehr fern.



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mathilda3001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-23


Müsste in P4 liegen, richtig?
Wie komme ich von dieser Tatsache nun zum allgemeinen Beweis?



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2020-11-23 21:17 - mathilda3001 in Beitrag No. 9 schreibt:
Müsste in P4 liegen, richtig?
Wie komme ich von dieser Tatsache nun zum allgemeinen Beweis?

Ja, P4 ist richtig.

Wie man das jetzt allgemein vernünftig aufschreibt, dazu gehört in diesem Fall wahrscheinlich nur ein wenig Übung. Ich würde es vielleicht wie folgt machen.

Behauptung: \((P_n)_{n\in\IN}\) bilden eine Klasseneinteilung von \(\IN\).

Beweis:
Zu zeigen sind
(1) Jede natürliche Zahl liegt in mindestens einer Menge \(P_n\)

(2) Keine natürliche Zahl liegt in mehr als einer der Mengen \(P_n\)

Sei also x eine beliebige natürliche Zahl. In der eindeutigen Primfaktorzerlegung von x komme die Primzahl 2 genau n mal vor, also \(x=2^n\cdot k\), wobei k eine ungerade Zahl ist. Da k ungerade ist, gibt es ein y mit k = 2y+1, und somit ist \(x=2^n\cdot(2y+1)\). Dies zeigt \(x\in P_n\) und somit (1).

Wäre gleichzeitig \(x=2^n\cdot(2y+1)\) und \(x=2^m\cdot(2z+1)\) mit \(n<m\), dann würde \(x=2^n\cdot(2y+1)=2^m\cdot(2z+1)\iff2y+1=2^{m-n}(2z-1)\) gelten. Also wäre 2 ein Teiler von 2y+1, was ein Widerspruch ist.

Insgesamt sind also (1) und (2) gezeigt.

Je nach dem, welcher Kenntnisstand vom Beweisenden vorausgesetzt wird, lässt sich das Ganze eventuell abkürzen.



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mathilda3001
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Entschuldigung, dass ich erst jetzt antworte!
Ihre Hilfe war Goldwert, danke dafür!! 🤗



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