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Strukturen und Algebra » Ringe » Restklassenring Einheit und Nullteiler
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Universität/Hochschule Restklassenring Einheit und Nullteiler
EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hey Leute,

mir fehlt für die folgende Aufgabe gefühlt die komplette Idee:

fed-Code einblenden

Ich habe mir bereits bewusst gemacht, was Einselement und Nullelement im Restklassenring sind. Allerdings fehlt mir komplett die Idee, was das ganze mit dem ggT zu tun hat.

Ich würde mich über Denkanstöße oder Hinweise freuen :)

Liebe Grüße



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo,

ist dir bewusst, dass $m$ genau dann eine Einheit in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist, wenn es $a,b\in \mathbb{Z}$ mit $am+bn=1$ gibt? Warum?



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EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Nein, das ist mir leider nicht bewusst. Aber ich versuche mal drüber zu grübeln.

Nur zum Verständnis (leider fehlt mir noch ein wenig die Praxis und das Verständnis von Einheiten, Nullteiler, etc.):
Einheit in dem Fall heißt doch, dass gelten muss:

fed-Code einblenden

Macht das Sinn ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-24


2020-11-24 16:40 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2 schreibt:

Einheit in dem Fall heißt doch, dass gelten muss:

fed-Code einblenden

Macht das Sinn ?

Es ist vielleicht ein bisschen merkürdig aufgeschrieben.

$\overline{m}$ heißt Einheit in $\mathbb Z/n\mathbb Z$, wenn es ein $\overline{a}\in \mathbb Z/n\mathbb Z$ mit $\overline{m}\overline{a}=\overline{1}$ gibt. Nun ist $\overline{1}=1+n\mathbb Z$, das ist die Kurzschreibweise für
\[
\overline{1}=\{1+nb\mid b\in\mathbb Z\} = \{1-nb\mid b\in\mathbb Z\}.
\] Wieso sind diese beiden Mengen gleich? $\overline{m}$ ist also dann eine Einheit, wenn es $a,b\in \mathbb Z$ mit
\[ma=1-bn\] gibt.



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EuskiPeuski712
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-24


Ah okay, auf den "Trick", dass

fed-Code einblenden

bin ich nicht gekommen. Dann wäre meine Idee:

fed-Code einblenden

Haut das einigermaßen hin ?
Würde man im Fall ggT>1 auch auf eine ähnliche Weise argumentieren können ?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-27


Restklassen lenken hier nur davon ab, worum es wirklich geht. Und die Annahmen "$n \geq 2$" und "von Null verschieden" sind überflüssig, lenken also ebenfalls ab (siehe auch hier).

Sei $R$ irgendein endlicher kommutativer Ring. Ist $a \in R$ kein Nullteiler, so bedeutet dies, dass die Abbildung $R \to R$, $x \mapsto ax$ injektiv ist. Weil $R$ endlich ist, muss sie also bijektiv sein. Insbesondere ist $1=ax$ lösbar, das heißt, $a$ ist eine Einheit.



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