Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalteiler A_4 und S_4
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Normalteiler A_4 und S_4
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo, wir beschäftigen uns zur Zeit mit Operationen in Algebra.
 
Dazu haben wir Aufgaben bekommen und ich soll zeigen, dass
(a) die Teilmenge $N=\{id, (12)(34), (13)(24),(14)(23)\}$ ein abelscher Normalteiler von $S_4$ und $A_4$ ist und
(b) die Gruppe $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung 6 besitzt.

Zu (a):
für einen Normalteiler N von $S_4$ bzw $A_n$ gilt ja: Untergruppe und $\forall g \in A_n$ bzw $S_n$ und $x\in N$: $gxg^{-1} \in N$
Ich habe nun gezeigt, dass N die Untergruppenaxiome erfüllt (dh $id \in N \Rightarrow N \neq \emptyset$, die Permutationen sind selbstinvers und ich habe alle miteinander multipliziert und es ist immer ein Element aus N rausgekommen)
Nun zur Normalteilereigenschaft: muss ich das jetzt für alle Elemente aus N und $A_n$, $S_n$ überprüfen oder gibt es auch einen einfacheren Weg? Ich weiß, dass $gxg^{-1} \in N$ eine Konjugation ist und wir hatten einen Satz "gilt $y = gxg^{-1}$ für $x,y,g \in G$, dann heißen die Elemente $x$ und $y$ konjugiert in G." und "in $S_n$ sind zwei Permutationen genau dann konjugiert, wenn beide dieselbe Zykelstruktur haben"

Kann ich dann sagen: in N sind ja alle Permutationen zwei 2er-Zykel, dh sie haben dieselbe Zykelstruktur. Aber wie übertrage ich das auf $A_n$?


zu (b) da wurde nur mal gesagt:
- Kennt man die Normalteiler der A4 oder S4, so ist klar, dass es keine Untergruppe der Ordnung 6 gibt
- Mit der Bahnformel kann man hier auch einiges machen.
Ich weiß wegen Cauchy, dass $A_4$ mindestens eine UG der Ordnung 2 und 3 hat, da $|A_4| = 12 = 2^2 \cdot 3$
Sonst habe ich leider keinen Ansatz...

P.S. wir hatten keine Sylow Sätze.

Danke für jede Hilfe!!!





Wahlurne Für LamyOriginal bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1379
Herkunft: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo LamyOriginal,

Zu a) Überlege dir, welche Ordnung und welche Signatur die Elemente \(gxg^{-1}\) haben für \(x \in N\).


lg Wladimir



Wahlurne Für wladimir_1989 bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
LamyOriginal hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]