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Autor |
Normalteiler A_4 und S_4 |
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LamyOriginal
Aktiv  Dabei seit: 20.11.2018 Mitteilungen: 220
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Hallo, wir beschäftigen uns zur Zeit mit Operationen in Algebra.
Dazu haben wir Aufgaben bekommen und ich soll zeigen, dass
(a) die Teilmenge $N=\{id, (12)(34), (13)(24),(14)(23)\}$ ein abelscher Normalteiler von $S_4$ und $A_4$ ist und
(b) die Gruppe $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung 6 besitzt.
Zu (a):
für einen Normalteiler N von $S_4$ bzw $A_n$ gilt ja: Untergruppe und $\forall g \in A_n$ bzw $S_n$ und $x\in N$: $gxg^{-1} \in N$
Ich habe nun gezeigt, dass N die Untergruppenaxiome erfüllt (dh $id \in N \Rightarrow N \neq \emptyset$, die Permutationen sind selbstinvers und ich habe alle miteinander multipliziert und es ist immer ein Element aus N rausgekommen)
Nun zur Normalteilereigenschaft: muss ich das jetzt für alle Elemente aus N und $A_n$, $S_n$ überprüfen oder gibt es auch einen einfacheren Weg? Ich weiß, dass $gxg^{-1} \in N$ eine Konjugation ist und wir hatten einen Satz "gilt $y = gxg^{-1}$ für $x,y,g \in G$, dann heißen die Elemente $x$ und $y$ konjugiert in G." und "in $S_n$ sind zwei Permutationen genau dann konjugiert, wenn beide dieselbe Zykelstruktur haben"
Kann ich dann sagen: in N sind ja alle Permutationen zwei 2er-Zykel, dh sie haben dieselbe Zykelstruktur. Aber wie übertrage ich das auf $A_n$?
zu (b) da wurde nur mal gesagt:
- Kennt man die Normalteiler der A4 oder S4, so ist klar, dass es keine Untergruppe der Ordnung 6 gibt
- Mit der Bahnformel kann man hier auch einiges machen.
Ich weiß wegen Cauchy, dass $A_4$ mindestens eine UG der Ordnung 2 und 3 hat, da $|A_4| = 12 = 2^2 \cdot 3$
Sonst habe ich leider keinen Ansatz...
P.S. wir hatten keine Sylow Sätze.
Danke für jede Hilfe!!!
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wladimir_1989
Senior  Dabei seit: 23.12.2014 Mitteilungen: 1379
Herkunft: Freiburg
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24
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Hallo LamyOriginal,
Zu a) Überlege dir, welche Ordnung und welche Signatur die Elemente \(gxg^{-1}\) haben für \(x \in N\).
lg Wladimir
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