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Strukturen und Algebra » Ringe » Z/nZ ist kein angeordneter Ring
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Universität/Hochschule Z/nZ ist kein angeordneter Ring
sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-24


Hallo zusammen,

ich arbeite gerade an folgender Aufgabe

Sei n ∈ N, und sei ∼ die durch x ∼ y :⇔ n teilt x − y definierte Relation auf Z; im Folgenden durfen Sie ohne Beweis verwenden, dass ¨ ∼ eine
Aquivalenrelation ist.
Ferner sei der Quotientenraum im Folgenden mit Z/nZ bezeichnet und mit den Operationen + und · definiert durch
[r] + [s] := [r + s]
und
[r] · [s] := [r · s]
versehen;
im Folgenden durfen Sie ohne Beweis verwenden, dass diese Operationen wohldefiniert sind und Z/nZ zu einem kommutativen Ring mit Eins machen.
Zeigen Sie, dass Z/nZ kein angeordneter Ring ist.

Mein Ansatz:
Z/nZ ist bezüglich der Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen:
z.B. Sei für n=3 [0]=0, [1] Element (-P), [2] Element (P)
Dann gilt für [1]*[2]=[2*1]=[2] Widerspruch, da nicht Element (-P)

Ich freue mich über jegliche Hilfestellungen!
Danke!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24


Hallo,


Z/nZ ist bezüglich der Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen

Du darfst annehmen (oder weißt), dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,\cdot)$ einen kommutativen Ring bildet. Das bedeutet auch, dass die Operationen abgeschlossen sind, also nicht aus dem Ring herausführen.

Vielleicht meinst du aber das richtige.
Jedenfalls reicht es nicht, wenn du es an einem Beispiel vormachst, auch wenn du damit auf eine richtige Idee kommen kannst.

Ich weiß aber auch nicht, was du mit diesem "Element (-P)" meinst.

Du brauchst hier die Eigenschaften einer Ordnung. Welche wären das?

Angenommen der Ring lässt sich ordnen.
Dann gilt doch sicherlich 0<1 oder 1<0. (Warum?)
Was dann?



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Hallo, vielen Dank für deine Hilfe!

Angenommen der Ring lässt sich ordnen.
Dann gilt doch sicherlich 0<1 oder 1<0. (Warum?)
Was dann?

Der Ring ließe sich zum Beispiel durch 1>0 ordnen.
Jedoch gibt es in der Äquivalenzklasse von 0, Zahlen die größer als 1 sind



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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Mit (-P) meinte ich sozusagen den negativen Positivitätsbereich, also -x Element P



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-25

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Hallo sina1357,

ignoriere am besten, wie die Elemente des Rings genau aussehen, und achte nur darauf, wie sie miteinander interagieren. Ganz wesentlich ist, dass jedes Element durch wiederholte Addition des Elements $[1]$ darstellbar ist, also $[r]=[1]+\dots+[1]$ für alle $r\in\Z$.
Nun ist $[1]$ entweder positiv oder negativ. Kannst du zeigen, dass dann entweder alle Elemente positiv, oder alle Elemente negativ sind? Kann das in einem geordneten Ring sein?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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sina1357
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25


Hallo,

danke für deine Hilfe!

Mein Ansatz:

[0],[1] sind in jedem Z/nZ enthalten, da n mod n = 0 und n+1 mod n = 1 gilt. (n=1 behandele ich vorher als Sonderfall).
Es gilt [1]>[0].
Annahme [0]<[1]: Nach Addition von [-1] folgt: [0-1]<[1-1] -> [-1]<[0].
Also gilt [1]>[0].
Es gilt [1]+[1]+....+[1]>[0], also n[1]>[0], also [n]>[0].
Jedoch: [0]=[n]=[n*1]=n*[1]>[0]



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-27


Auch hier gilt: Restklassen lenken nur vom Wesentlichen ab. Die "innere Struktur" der Elemente einer algebraischen Struktur hat keine Auswirkung auf die algebraische Struktur selbst. Diese innere Struktur sollte daher allenfalls einmalig für die Konstruktion herangezogen werden, kann danach aber problemlos für immer vergessen werden. Was $\IZ/n\IZ$ ausmacht, ist dass es ein Ring ist, dessen Elemente alle Vielfache des Einselementes $n$ sind, und indem zusätzlich die Relation $n \cdot 1 = 0$ gilt. Mehr muss man nicht wissen. Insbesondere ist $\IZ/n\IZ$ ein endlicher Ring. Und was die Aufgabe angeht, kann man auch gleich allgemeiner zeigen: Jeder angeordnete Ring ist unendlich. Denn es gilt $0 < 1$ (wenn das nicht in der Definition eines angeordneten Ringes steht, kann man es aus jeder sinnvollen Definition sofort folgern). Daraus folgt $1 < 1 + 1 = 2 \cdot 1$, usw. also dass die $k \cdot 1$ mit $k \in \IN$ paarweise verschieden sind.



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