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Kein bestimmter Bereich ** Moriarty 3
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Bestimme den Grenzwert $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_\pi^{2\pi} \frac{\lvert\sin{nx}+\cos{nx}\rvert}{x} dx$.

Lösungen bitte nur mit Rechenweg und PN bis Mittwoch, 16. Dezember 2020. Viel Freude!

Grüße Squire

Rahmenerzählung:
Link* Advent 2020 Der entführte Professor



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-17


Guten Morgen und Gratulation an

MontyPythagoras
MartinN
Wauzi
Wally
wrdlprmpfd

Mein Lösungsvorschlag:


Zunächst Substitution $u=nx$ und Addition von sin und cos:

$\sqrt{2}\lim_{n \to \infty} \int_{n \pi}^{2n \pi} \frac{\lvert\sin\left(u+\frac{\pi}{4}\right)\rvert}{u} du$

Substitution $t=u-n\pi+\frac{\pi}{4}$:

$\sqrt{2}\lim_{n \to \infty} \int_{\frac{\pi}{4}}^{n \pi+\frac{\pi}{4}} \frac{\lvert\sin{t}\rvert}{t+n\pi-\frac{\pi}{4}} dt$

Einschließungskriterium:

$\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{2}{k\pi+n\pi}\leq\sqrt{2}\lim_{n \to \infty} \int_{\frac{\pi}{4}}^{n \pi+\frac{\pi}{4}} \frac{\lvert\sin{t}\rvert}{t+n\pi-\frac{\pi}{4}} dt\leq\sqrt{2}\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{2}{(k-1)\pi+n\pi}$

und somit schließlich als Grenzwert $\frac{2\sqrt{2}\ln{2}}{\pi}$.



Weitere Lösungen zu Moriarty 3 dürfen ab sofort hier gepostet werden!

Grüße Squire



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-17


Wuhuuu... dann hat meine Methode tatsächlich so funktioniert xD


Okay, diese Aufgabe muss ich eher auf einer Annahme basierend begründen. Ich kann sie wohl nicht beweisen, aber kann mir sehr gut vorstellen, dass es so ist - weil es für mich logisch klingt.
Angenommen man hat eine periodische Funktion \(p_n(x)\) mit der von n abhängigen Periode \(\pi_n\) (dies muss nicht die Kreiszahl sein), also: \(p_n(x+k\pi_n) = p_n(x)\).

Außerdem sei ansonsten die Funktion von n unabhängig, d.h. sie wird mit n nur in x-Richtung gestaucht oder gestreckt (nicht unbedingt linear). Anders ausgedrückt: \(\forall n \exists m: p_n(x) = p_1(\frac{x}{m})\)

Weiterhin sei: \(\lim\limits_{n \to \infty} \pi_n = 0\)
Für größer werdende n wird die Periode immer kleiner, d.h. auf immer schmaleren Streifen der x-Achse wird die Periode der Funktion \(p_1(x)\) "abgespielt".

Nun gebe es noch eine Hüllfunktion \(h(x)\), diese wird mit der periodischen Funktion \(p_n(x)\) multipliziert. Und wir betrachten den Integral des Produktes über ein Intervall I:
\(\int^I h(x) \cdot p_n(x) dx\)


Dieses Intervall könnte man in kleine Stückchen jeweils über verschiedene Perioden \(\Pi_q = \left[q \cdot \pi_n; (q+1) \cdot \pi_n\right]\) von \(p_n(x)\) zerteilen:
\(= \sum^{\cup \Pi_q = I} \int^{\Pi_q} h(x) \cdot p_n(x) dx\)

\(q\) muss dabei nicht unbedingt eine ganze Zahl sein, aber für die spätere Berechnung wäre das praktisch. Dass \(I\) aber kein Vielfaches von \(\pi_n\) sein muss, soll uns vorher nicht stören (wenn n gegen Unendlich geht, dann wird \(\pi_n\) immer kleiner und man kann jedes Intervall beliebig nahe annähern als Vielfaches solcher Perioden).
Also mit: \(I = \left[q \pi_n; (q+\lambda+1) \pi_n \right]; \lambda \in \IN\)
\(= \sum_{i=0}^{\lambda} \int_{(q+i)\pi_n}^{(q+i+1)\pi_n} h(x) \cdot p_n(x) dx\)


Für \(n \to \infty\) werden jetzt diese Streifen / Intervalle immer kleiner und die Hüllfunktion \(h(x)\) könnte als ein Punkt an dieser Stelle angenähert werden, während die periodische Funktion \(p_n(x)\) ihre gesamte Periode dort darstellt. So ist das Maximum in diesem Intervall etwa \(h((q+i)\pi_n) \cdot \max(p(_1(x))\) oder das Minimum etwa \(h((q+i)\pi_n) \cdot \min(p(_1(x))\), und ebenso für alle anderen Funktionswerte in diesem Intervall - insbesondere für n gegen Unendlich. Anders ausgedrückt: man kann annehmen, dass die Fläche des Intervalls (Summe aller Funktionswerte) nur von der periodischen Funktion abhängt (für n gegen Unendlich wird dies immer exakter):
\(\approx \sum_{i=0}^{\lambda} h((q+i)\pi_n) \cdot \int_{(q+i)\pi_n}^{(q+i+1)\pi_n} p_n(x) dx\)

Nun noch geschickt erweitern:
\(= \sum_{i=0}^{\lambda} h((q+i)\pi_n) \cdot \left( \frac{\int_{(q+i)\pi_n}^{(q+i+1)\pi_n} p_n(x) dx}{\pi_n} \right) \cdot \pi_n\)

Diese Periode \(\pi_n\) wird nun für n gegen unendlich 0 und entspricht der Länge eines Intervalls der Summe... man kann also für \(n \to \infty\) die Summe in einen entsprechenden Integral umschreiben, mit:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\int_{(q+i)\pi_n}^{(q+i+1)\pi_n} p_n(x) dx}{\pi_n} \right) = P\\
\lim\limits_{n \to \infty} \pi_n = dt\\
\to \int^I h(t) \cdot P \cdot dt\)

Da \(P\) ein konstanter Wert ist (unabhängig von q):
\(= P \cdot \int^I h(t) dt\)


Zusammenfassung:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\int_{0}^{\pi_n} p_n(x) dx}{\pi_n} \right) = P\\
\to \lim\limits_{n \to \infty} \int^I h(x) \cdot p_n(x) dx = P \cdot  \int^I h(t) dt\)




Nun zu unserer Funktion, die Periode der Funkion \(p_n(x) = | \sin(nx) + \cos(nx) |\) ist \(\pi_n = \frac{\pi}{n}\) (hier ist pi die Kreiszahl). Diese Periode erfüllt alle obigen Anforderungen etwa \(m = n\). Berechnen wir also P, wobei wir hierfür zwischen 2 Nullstellen integrieren muss, damit man die Betragsstriche aus dem Integral herausziehen kann (dann wird der Integral ausschließlich über positive oder negative Funktionswerte gebildet):
1)
\(\sin(nx_0) + \cos(nx_0) = 0\\
\to \tan(nx_0) = -1\\
\to nx_0 = -\frac{\pi}{4} + k\pi\\
x_0 = -\frac{\pi}{4n} + k\frac{\pi}{n}\)
Hieran erkennt man auch, dass sich die Nullstellen mit der Periode \(\pi_n = \frac{\pi}{n}\) wiederholen und es genügt eine Nullstelle zu betrachten:
2)
\(P = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\int_{-\frac{\pi}{4n}}^{-\frac{\pi}{4n} + \frac{\pi}{n}} | \sin(nx) + \cos(nx) | dx}{\frac{\pi}{n}} \right)\\
= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\vert \int_{-\frac{\pi}{4n}}^{-\frac{\pi}{4n} + \frac{\pi}{n}} \sin(nx) + \cos(nx) dx \vert}{\frac{\pi}{n}} \right)\\
= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\vert \left[ -\cos(nx)/n + \sin(nx)/n \right]_{-\frac{\pi}{4n}}^{-\frac{\pi}{4n} + \frac{\pi}{n}} \vert}{\frac{\pi}{n}} \right)\\
= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\vert (\frac{1}{\sqrt{2}n} + \frac{1}{\sqrt{2}n}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}n} - \frac{1}{\sqrt{2}n}) \vert}{\frac{\pi}{n}} \right)\\
= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{4}{\sqrt{2}n}}{\frac{\pi}{n}} \right) = \frac{\sqrt{8}}{\pi}\)

3)
Damit jetzt den gesuchten Integral bestimmen:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1}{x} \cdot  | \sin(nx) + \cos(nx) | dx = P \cdot  \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1}{t} dt\\
= \frac{\sqrt{8}}{\pi} \cdot \left[ \ln|t| \right]_{\pi}^{2\pi}\\
= \frac{\sqrt{8} \ln(2)}{\pi}\\
\approx 0.6240517161564144072970435108211048739720549302239018257063306821\)


Fertig xD


Ist das obere mit der periodischen Funktion p_n(x) und der Hüllfunktion h(x) so ausreichend gezeigt? Oder fehlt da noch was?
Dabei geht es ja um den Schritt, ob ich h(x) aus dem Integral dann einfach als h((q+i)\pi_n) vor das Integral in die Summe ziehen kann (da die Länge des Integrals immer mehr zu einem Punkt wird).



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Kuestenkind
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Huhu,


\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_\pi^{2\pi} \frac{\lvert\sin{nx}+\cos{nx}\rvert}{x} \, \dd x\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{n\pi}^{2n\pi} \frac{\lvert\sin{x}+\cos{x}\rvert}{x} \, \dd x\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \int_{n\pi+k\pi}^{n\pi+(k+1)\pi} \frac{\lvert\sin{x}+\cos{x}\rvert}{x}\,  \dd x\)

\(s:=x-(n\pi+k\pi)\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\lvert\sin{s}+\cos{s}\rvert}{s+n\pi+k\pi} \, \dd s\)

Nun vertauschen wir Integral und Summation und ziehen den Limes in das Integral:

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1}  \frac{1}{s+n\pi+k\pi}\)

Es gilt nach Differenz-Gleichung der Digamma Funktion:



Nun ist \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}  \frac{1}{s+n\pi+k\pi} = \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n-1}  \frac{1}{\frac{2}{\pi}+n+k}\) und damit nach obiger Gleichung:

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1}  \frac{1}{s+n\pi+k\pi}= \frac{1}{\pi}\lim_{n \to \infty}\left(\psi\left(2n+\frac{2}{\pi}\right)-\psi\left(n+\frac{2}{\pi}\right)\right)\)

Um den Grenzwert zu berechnen nutzen wir die asymptotische Entwicklung:
 
en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function#Asymptotic_expansion

Damit geht es für \(n\to \infty\) offensichtlich nur um den Grenzwert von \(\log\left(\frac{2n+\frac{s}{\pi}}{n+\frac{s}{\pi}}\right)\), welcher offensichtlich \(\log(2)\) ist.

Damit genügt es zu berechnen:

\(\displaystyle \frac{\log(2)}{\pi} \int_{0}^{\pi} \lvert\sin{s}+\cos{s}\rvert\ \, \dd s\)

\(\displaystyle \frac{\log(2)\sqrt{2}}{\pi} \int_{0}^{\pi} \lvert\sin\left(s+\frac{\pi}{4}\right)\rvert\ \, \dd s\)

Nun teilen wir das Integral auf:

\(\displaystyle  \int_{0}^{\pi} \lvert\sin\left(s+\frac{\pi}{4}\right)\rvert\ \, \dd s=\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \sin\left(s+\frac{\pi}{4}\right) \, \dd s-\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi} \sin\left(s+\frac{\pi}{4}\right) \, \dd s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+1=2\)

Damit ist der gesuchte Grenzwert \(\mathscr{L}= \frac{2\log(2)\sqrt{2}}{\pi}\)


Gruß,

Küstenkind



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