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 Mal wieder die verallgemeinerte Kreisgleichung |
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shirox
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Guten Abend,
ich bin immer noch dabei Kreisspiegelungen besser zu verstehen.
$E|z|^2+Fz+ \bar F \bar z +G=0$
Für die genauere Erklärung schaue hier: Verallgemeinerte Kreisgleichung ℂ identifiziert mit ℝ²
Ein verallgemeinerter Kreis schneidet genau dann $\mathbb{R}$ orthogonal, falls $F=\bar F$ eine reele Zahl ist
Jetzt muss ich vermutlich zwei Richtungen zeigen, oder?
Ist es hilfreich dass man irgendwie eine Tangente benutzt und zeigt, das diese Senkrecht ist, bzw, könnt ihr mir helfen, wie ich die Tangente in (x,y) bestimmen kann?
Im Fall $F=\bar F$ ist die Formel ja:
$$E(x^2+y^2)+2Fx+G=0$$ oder?
Vielleicht könnt ihr mir ja ein Tipp geben, ich würde mich sehr freuen. Vielen Danke euch!
Liebe Grüße
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Diophant
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
die eine Richtung hast du damit doch bereits so gut wie gezeigt. Überlege einmal, wo der Kreismittelpunkt liegen muss, damit der Kreis die reelle Achse rechtwinklig schneidet.
Dann sollte auch die Vorgehensweise für die andere Richtung klar sein. Dafür solltest du für die allgemeine Kreisgleichung in \(\IC\) noch den Mittelpunkt bestimmen bzw. nachschlagen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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shirox
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Danke dir für deine Antwort. Ich hab noch ein paar Fragen:
Womit habe ich die eine Richtung gezeigt?:)
Und ich habe nachgeschlagen, der Kreismittelpunkt ist $\frac{-\bar F}{E}$ also wenn $F=\bar F$ reel liegt der Kreismittelpunkt auf der reelen Achse. Jetzt habe ich noch eine Beweisidee gefunden, die mit Äquivalenzen arbeitet, aber da bin ich bei einem Schritt noch nicht überzeugt.
Ein verallgemeinerter Kreis schneidet $\mathbb{R}$ orthogonal.
<=>
Der Kreismittelpunkt ist eine reelle Zahl.
<=>
$\frac{-\bar F}{E}$ ist eine reelle Zahl
<=>
$\bar F$ ist eine reelle Zahl.
Aber die erste äquivalenz ist doch eigentlich das was ich zeigen will oder nicht?
Oder sind diese Äquivalenzen ein Beweis für die Aussage dass $\mathbb{R}$ orthogonal geschnitten wird, wenn $F=\bar F$ reel ist?
Liebe Grüße
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26
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Hallo,
2020-11-26 12:12 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke dir für deine Antwort. Ich hab noch ein paar Fragen:
Womit habe ich die eine Richtung gezeigt?:)
Du hast \(F=\overline{F}\in\IR\Longrightarrow\text{Mittelpunkt liegt auf der reellen Achse}\) gezeigt, weil die Variable \(y\) in der betreffenden Kreisgleichung nur noch quadratisch vorkommt, aber nicht linear. Damit muss für den Mittelpunkt \(M\) gelten: \(\on{Im}(M)=0\).
2020-11-26 12:12 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
Und ich habe nachgeschlagen, der Kreismittelpunkt ist $\frac{-\bar F}{E}$ also wenn $F=\bar F$ reel liegt der Kreismittelpunkt auf der reelen Achse.
Hier musst du jezt einfach andersherum argumentieren, damit es auch die Rückrichtung ist: Aus \(\on{Im}(-\overline{F}/E)=0\) folgt \(F=\overline{F}\in\IR\).
Damit bist du meiner Ansicht nach hier fertig.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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shirox
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26
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Danke für deine Antwort.
Ist die Rückrichtung dann : Wenn $F=\bar F$ dann ist Im($-\bar F/E)=0$
Lieben Gruß
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-26
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Hi,
2020-11-26 19:20 - shirox in Beitrag No. 4 schreibt:
Ist die Rückrichtung dann : Wenn $F=\bar F$ dann ist Im($-\bar F/E)=0$
Nein, diese Richtung hast du doch über die Kreisgleichung gezeigt.
(Das müsstest du ggf. noch über eine quadratische Ergänzung mit dem Ziel, das ganze auf die Form \(\left(x-\on{Re}(M)\right)^2+\left(y-\on{Im}(M)\right)^2=\left(x-\on{Re}(M)\right)^2+y^2=r^2\) zu bringen, deutlich machen. Das hängt ein bisschen davon ab, welche Ausführlichkeit da erwartet wird.)
Die Rückrichtung ist gerade anders herum:
\[\on{Im}\left(-\frac{\overline{F}}{E}\right)=0\ \Longrightarrow\ F=\overline{F}\in\IR\]
Nochmal verbal: wenn der Mittelpunkt auf der reellen Achse liegt, dann gilt \(F=\overline{F}\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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shirox
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
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Ich danke Dir für deine Geduld.
Aber die Richtung ist doch sofort klar oder?
Denn $E$ ist ja reel, also muss $\bar F$ reel sein und dann auch $F$ und $\bar F$ und $F$ unterscheiden sich ja nur im das Vorzeichen beim Imaginäteil, welcher $0$ ist, also sind beide auch gleich und reel.
Liebe Grüße
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-28
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Hallo,
je nachdem, welche Kenntnis man hat ist hier von vorn herein alles klar. Du hast nach einer Argumentation für einen "Genau dann, wenn"-Beweis gefragt und diese habe ich versucht zu formulieren.
Wie gesagt: in welcher Ausführlichkeit hier argumentiert werden soll, das misst du schon selbst entscheiden.
Ansonsten müsste eine solche Frage jedenfalls mit der kompletten Aufgabe im Originalwortlaut beginnen.
Gruß, Diophant
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shirox
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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2020-11-26 12:12 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke dir für deine Antwort. Ich hab noch ein paar Fragen:
Womit habe ich die eine Richtung gezeigt?:)
Und ich habe nachgeschlagen, der Kreismittelpunkt ist $\frac{-\bar F}{E}$ also wenn $F=\bar F$ reel liegt der Kreismittelpunkt auf der reelen Achse. Jetzt habe ich noch eine Beweisidee gefunden, die mit Äquivalenzen arbeitet, aber da bin ich bei einem Schritt noch nicht überzeugt.
Ein verallgemeinerter Kreis schneidet $\mathbb{R}$ orthogonal.
<=>
Der Kreismittelpunkt ist eine reelle Zahl.
<=>
$\frac{-\bar F}{E}$ ist eine reelle Zahl
<=>
$\bar F$ ist eine reelle Zahl.
Aber die erste äquivalenz ist doch eigentlich das was ich zeigen will oder nicht?
Oder sind diese Äquivalenzen ein Beweis für die Aussage dass $\mathbb{R}$ orthogonal geschnitten wird, wenn $F=\bar F$ reel ist?
Liebe Grüße
Ich muss diesen Thread leider einmal wiederbeleben, weil ich ja immernoch nicht so richtig, die erste Äquivalenz gezeigt habe oder?
Ich hatte jetzt die Idee: Sei K ein Kreis mit Mittelpunkt z und Schnittpunkt p, wobei p die $\mathbb {R}$ schneidet.
Dann gilt ja K schneidet $\mathbb{R}$ orthogonal <=> die Strecke $\overline {pz}$ ist orthogonal zur Imaginären Achse oder? <=> wenn $p-z$ reel <=> z reel, da p reel
ist das so in Ordnung?
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-30
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Hallo,
2020-11-30 14:41 - shirox in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich muss diesen Thread leider einmal wiederbeleben, weil ich ja immernoch nicht so richtig, die erste Äquivalenz gezeigt habe oder?...
Vermutlich meinst du Implikation, wenn du Äquivalenz schreibst? Schlage diese beiden logischen Konzepte nochmals nach. Hier geht es um eine Äquivalenz, zerlegt in zwei Implikationen. Besser bekannt unter den Begriffen Hin-Richtung und Rück-Richtung.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass man im Rahmen einer solchen Aufgabe auch noch (elementare) geometrische Sachverhalte beweisen muss. Dass also eine Sehne, die einen Kreis rechtwinklig schneidet, durch den Mittelpunkt dieses Kreises geht, darf hier meiner Ansicht als bekannt vorausgesetzt werden.
Insofern ist das, was du bisher zusammengetragen hast, längst ausreichend. Du musst eben die beiden Richtungen verstehen, das scheint mir das Problem zu sein.
Die erste Richtung war:
\[F=\overline{F}\in\IR\ \Longrightarrow\ \text{Kreismittelpunkt liegt auf der reellen Achse}\]
Und die Rückrichtung dann:
\[\text{Kreismittelpunkt liegt auf der reellen Achse}\ \Longrightarrow\ F=\overline{F}\in\IR\]
Das reicht hier aus. Das einzige, was man wie schon erwähnt noch tun könnte ist, für die Hin-Richtung, also die Kreisgleichung im Fall \(F=\overline{F}\) noch nachzurechnen, dass der Imaginärteil des Kreismittelpunkts gleich Null ist. Das Stichwort hierfür habe ich jetzt auch schon ein paarmal erwähnt: quadratische Ergänzung.
Wenn du dir aber so unsicher bist, was hier ausreicht und was nicht: könntest du dann bitte die Aufgabenstellung komplett und im Originalwortlaut posten und ggf. auch noch etwas dazu sagen, im Rahmen was für einer Veranstaltung du diese Aufgabe bekommen hast?
Dann könnte man solche Fragen einigermaßen zuverlässig beantworten, ansonsten ist das Kaffeesatzleserei...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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