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Kein bestimmter Bereich *** Moriarty 4
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-26


Bestimme den Grenzwert $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\int_0^1 \left(\frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{n-1}}{\ln{x}} \right) dx$.

Lösungen bitte nur mit Rechenweg und PN bis Donnerstag, 17. Dezember 2020. Viel Freude!

Grüße Squire

Rahmenerzählung:
Link* Advent 2020 Der entführte Professor




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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-19


Einen schönen Nachmittag und nochmals herzliche Gratulation an die üblichen Verdächtigen:

MontyPythagoras
MartinN
Wauzi
Wally
wrdlprmpfd

Mein Lösungsvorschlag:


Ich habe folgende Bausteine verwendet, die ich schon bei anderer Gelegenheit gezeigt hatte:

$\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{\ln{x}} \right) dx=\gamma$

$\int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x} dx=H_n$

$\int_0^1 \frac{1-x^{n-1}}{\ln{x}} dx=-\ln{n}$

$\lim_{n \to \infty}n\left( H_n-\ln{n}-\gamma \right)=\frac{1}{2}$

Somit:
$\lim_{n \to \infty} n\int_0^1 \left(\frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{n-1}}{\ln{x}} \right) dx=\lim_{n \to \infty} n\int_0^1 \left(-\frac{1-x^n}{1-x}+\frac{1}{1-x}-\frac{1-x^{n-1}}{\ln{x}}+\frac{1}{\ln{x}} \right) dx=$

$=\lim_{n \to \infty} n\left(\gamma-H_n+\ln{n} \right) dx=-\frac{1}{2}$.




Weitere Lösungen zu Moriarty 4 dürfen ab sofort hier gepostet werden!

Grüße Squire



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-19


Huhu,


\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\int_0^1 \left(\frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{n-1}}{\ln{x}} \right) \dd x= \lim_{n \to \infty} n\int_0^1 \left(\frac{x^n}{1-x}+\frac{x\cdot x^{n-1}}{x\ln{x}} \right) \dd x=  \lim_{n \to \infty} n\int_0^1 x^n\left(\underbrace{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x\ln{x}}}_{=:f} \right)  \dd x\)

Für \(x^nf(x)\) integrierbar auf \([0,1]\) für ein \(n\) und \(f\) linksseitig stetig für \(x=1\) ist dieser Grenzwert \(f(1)\).

Nun schauen wir uns die Grenzwerte für \(x\to 0\) und \(x\to 1\) an:

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^n\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x\ln{x}}\right)= \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^n}{1-x}+\frac{x^{n-1}}{\ln{x}}\right)\)

Der erste Bruch geht offensichtlich gegen \(0\), beim zweiten kann man z.B. \(x=e^{-t}\) setzen und den Grenzwert \(t\to\infty\) betrachten. Damit:

\(\displaystyle \frac{(e^{-t})^{n-1}}{\ln{e^{-t}}}=\frac{e^{t-tn}}{-t}\) was für \(n>1\) und \(t\to \infty\) offensichtlich gegen Null geht. Damit geht die Summe auch gegen Null und der Integrand kann stetig nach Null fortgesetzt werden.

Nun schauen wir uns \( \lim\limits_{x \to 1} f(x)\) an:

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x\ln{x}}\right)= \lim_{x \to 1} \frac{x\ln x+1-x}{(1-x)x \ln x}\stackrel{L.H.}{=} \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x-2x\ln x+\ln x}\stackrel{L.H.}{=} \lim_{x \to 1} \frac{x^{-1}}{-3+x^{-1}+2\ln x}=\lim_{x \to 1} \frac{1}{-3x+1+2x\ln x}=-\frac{1}{2}\)

Somit ist \(f\) linksseitig stetig für \(x=1\) - und da offensichtlich \( \lim\limits_{x \to 1} x^nf(x)=-\frac{1}{2}\) ist, kann der Integrand auch stetig nach \(1\) fortgesetzt werden. Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar. Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt und der gesuchte Grenzwert ist somit \(\mathscr{L}=f(1)=-\frac{1}{2}\).



Gruß - und schöne Feiertage wünscht,

Küstenkind

PS: Danke für die netten Aufgaben!



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-19


Auch von mir ein herzliches Danke für die Aufgaben, die meine Produktivität gelegentlich deutlich gebremst haben😁


Viele Grüße

Wally



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