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 Niveaumenge einer Funktion mit 2 Variablen |
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Perseus0802
Neu 
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 1
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Hallo Zusammen,
anbei eine Aufgabe zur Niveaumenge einer Funktion mit 2 Variablen und meiner eigenen Rechnung.
Teil a) habe ich mehr oder weniger durch die Lösung "herausgefunden". Der Weg dort hin ist mir aber nicht ganz klar.
Hätte ich nicht die Funktion F(x,y) = c setzen müssen? und anschließend nach einer Variablen z.B. x auflösen müssen, um die Niveaumenge zu erhalten? So habe ich ja eigentlich nur die Nullstellen bestimmt.
Woher weiß ich welche Bereiche in der Skizze positiv oder negativ sind?
Teil b) hier bin ich leider ganz verloren. Kann man das durch eine Rechnung beweisen? Was wäre der Ansatz?
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Vielen Dank im Voraus.
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3039
Herkunft: der Nähe von Schwerin
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
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Hallo,
ein Produkt von reellen Zahlen ist genau dann kleiner als Null, wenn die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist.
In jedem Gebiet, welches durch die Kurven eingeschlossen wird, verändern die einzelnen Faktoren ihr Vorzeichen nicht. Du könntest also in jedem Gebiet einzeln prüfen, ob ihr Funktionswert positiv oder negativ ist.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5720
Herkunft: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Die Niveaumenge hast du richtig. Dass das Nullstellen sind, liegt in der Natur der Sache, wenn man die Niveaumenge für \(f(x,y)=0\) bestimmen soll.
Zum Teil b): die Niveaulinien teilen die xy-Ebene in insgesamt 9 Teilgebiete auf. Ich verstehe die Aufgabe so, dass man damit beginnt, für Punkte aus dem Inneren eines solchen Gebiets den Funktionswert bzw. sein Vorzeichen zu berechnen. So lange, bis man positive und negative Werte gefunden hat. Und dann kann man aus der Stetigkeit und der Beschaffenheit der Niveaumenge schlussfolgern, dass \(f\) lokale Minima und lokale Maxima besitzen muss.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)
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