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Analysis » Maßtheorie » Borel-messbar, punktweise Konvergenz
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Universität/Hochschule J Borel-messbar, punktweise Konvergenz
Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


Hallo!

Mir wurde gesagt, dass, falls eine Funktionenfolge $f_n$ messbar ist, auch ihr Grenzwert, also $\lim f_n = f$, messbar ist, wenn die Folge punktweise konvergiert.

Ich hätte jetzt folgende Funktionenfolge gegeben...

$$ f_n = \frac{f(A+\frac{1}{n}) - f(A)}{\frac{1}{n}}$$
welche borel-messbar ist ($f$ ebenso borel-messbar).
Wie sehe ich hier die punktweise konvergenz? Dazu muss doch gelten, dass der Grenzwert für jedes $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ existiert, oder?

Wie kann ich das zeigen (oder ist es trivial? Ich weiß es nicht)

Vielen Dank schon mal! 😃




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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28


Hallo Quotenbanane,
in dem Beispiel existiert der Grenzwert nicht unbedingt, beispielsweise wenn \(f\) in \(A\) ein Sprungstelle hat.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


OK, aber wenn f differenzierbar ist, funktioniert's?

Woran siehst du das?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28


\(f_n\) ist der Differenzenquotient, der in der Definition der Ableitung verwendet wird. Wenn \(f\) differenzierbar vorausgesetzt ist, dann existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten für jede gegen Null konvergierende Folge \(\Delta{x}\), speziell auch für\(\Delta{x}=\frac1n\).



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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Aja, stimmt. Ist eigentlich eh logisch, danke 😃

Ich hätte dann noch eine Frage zu einer anderen Funktion, dessen Messbarkeit ich beweisen möchte. Aber dazu werde ich eine neue Frage erstellen.



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