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Differentialgleichungen » Gewöhnliche DGL » Lokale Lösbarkeit von Integro-DGL
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Universität/Hochschule J Lokale Lösbarkeit von Integro-DGL
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-28


Guten Abend,

ich habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe zur Lösung einer Integro-Differentialgleichung.

Sei $X$ ein Banachraum, $u_0 \in X$. Zeige, dass das Anfangswertproblem für die Integrodifferentialgleichung

$$
\begin{cases}
u'(t)=(Ku)(t), \ t>0, \\
u(0)=u_0,
\end{cases}
$$
mit $(Ku)(t):=\int_{0}^{t} k(t-s) u(s) ds, k \in C([0, \infty])$ mit $\int_{0}^{\infty} |k(s)| ds < \infty$ lokal eindeutig lösbar ist.

$\textbf{Hinweis:}$ Ein Blick in den Beweis von Picard-Lindelöf lohnt sich.

Dem Hinweis folgend habe ich mir also den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf noch einmal angesehen. Der läuft ja darauf hinaus, dass eine Funktion $u$ eine Lösung des Fixpunktproblems ist genau dann wenn die Integralgleichung
$u(t)=u_0+\int_{t_0}^{t} f(s,u(s)) ds$
erfüllt ist. Wenn man dann den Operator
$$ (Tu)(t):=u_0+\int_{0}^{t} f(s,u(s)) ds
$$
definiert, läuft alles auf ein Fixpunktproblem hinaus.

Wenn ich versuche so ein ähnliches Prinzip auf die gegebene DGL anzuwenden, so erhielte ich

$$ u(t')=u_0+\int_{0}^{t'} (Ku)(t) dt
$$
Jetzt könnte ich versuchen, mir einen Operator

$$ (Hu)(t'):=u_0+\int_{0}^{t'} (Ku)(t) dt
$$
zu definieren. Allerding bin ich mir nicht sicher, ob ich den Hinweis richtig verstehe oder ob es anders gedacht ist. Ich sehe z.B. noch nicht, wie die (im Beweis von Picard-Lindelöf wichtige) Lipschitz-Bedingung erfüllt sein soll.  



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 18:07 - Mandacus im Themenstart schreibt:
Ich sehe z.B. noch nicht, wie die (im Beweis von Picard-Lindelöf wichtige) Lipschitz-Bedingung erfüllt sein soll.  

Die Lipschitz-Bedingung war doch nur ein Zwischenschritt, um nachzuweisen, dass eine bestimmte Abbildung eine Kontraktion ist.

Hier ist die Situation sogar noch einfacher, weil du es im Wesentlichen mit einem linearen Operator, nämlich$$ L\colon C([-\tau,\tau],X)\to C([-\tau,\tau],X)\;,\quad
(Lu)(t) = \int_0^t (Ku)(s)\;\mathrm ds =
\int_0^t\int_0^s k(s-r)\,u(r)\;\mathrm dr\,\mathrm ds \;,
$$zu tun hast und nur $\|L\|<1$ zeigen musst.



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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Nun gut, wenn ich zeigen will $||L||<1$ muss ich mir Ausdrücke der Form
$\frac{||Lu||_{\infty}}{||u||_{\infty}}, u \in C([-\tau, \tau],X)$ anschauen.

Ich habe bis jetzt

$$ \frac{||Lu||_{\infty}}{||u||_{\infty}}
=\frac{\underset{t \in [-\tau, \tau]}{\text{sup}}||Lu||_{\infty}}{||u||_{\infty}} \\
=\frac{\underset{t \in [-\tau, \tau]}{\text{sup}} ||\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} k(s-r) u(r) dr \ ds ||}{||u||_{\infty}} \\
\leq \frac{\underset{t \in [-\tau, \tau]}{\text{sup}} \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} |k(s-r)| \ ||u||_{\infty} dr \ ds}{||u||_{\infty}}. \tag{*} \\
$$
Nun muss ich wahrscheinlich die in der Aufgabenstellung angegebene Bedingung an das Integral über $|k|$ so ausnutzen, dass eine Abschätzung herauskommt mit $\frac{||Lu||_{\infty}}{||u||_{\infty}}$. Allerdings kriege ich aus der Voraussetzung ja erst einmal nur, dass (*) kleiner ist als eine endliche Konstante, die aber nicht unbedingt kleiner oder gleich $1$ sein muss, was ich bräuchte. Ich sehe leider noch nicht ganz, wie ich das bekommen kann.  


 

 



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03


2020-12-03 13:04 - Mandacus in Beitrag No. 2 schreibt:
Allerdings kriege ich aus der Voraussetzung ja erst einmal nur, dass (*) kleiner ist als eine endliche Konstante, die aber nicht unbedingt kleiner oder gleich $1$ sein muss, was ich bräuchte. Ich sehe leider noch nicht ganz, wie ich das bekommen kann.

Diese Konstante hängt vom $\tau$ im Definitionsbreich $C([-\tau,\tau],X)$ von $L$ ab. Und da es nur um die lokale Lösbarkeit geht, kannst du $\tau$ so klein machen, dass der Wert unter 1 sinkt.



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