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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Ist dieses Argument sauber formuliert?
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Universität/Hochschule Ist dieses Argument sauber formuliert?
LineareAlgebruh
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\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Guten Abend.

Könntet ihr mir kurz sagen, ob ich dieses Argument sauber formuliert habe?

Also erstmal eine kurze Erklärung: Wir haben eine lineare Abbildung \(x : V \rightarrow V\), wobei \( V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum ist. Zu \(x\) gibt es einen Eigenvektor \(w\) zum Eigenwert 0. Wir betrachten nun den Quotientenraum \( V/U\), wobei \(U\) der Spann von diesem Eigenvektor \(w\) ist. Das \(x\) in \( \text{gl}(V)\) induziert nun eine Abbildung \(\bar{x}\) in \( \text{gl}(V/U)\), die einfach als \( \bar{x}(y+U) := xy + U\) definiert ist. Jetzt haben wir eine Basis \( \tilde{B} = \{v_1 + U, ... ,v_n + U \}\), sodass \( \bar{x}\) in dieser Basis als darstellende Matrix eine strikte obere Dreiecksmatrix bekommt. Jetzt kommt die eigentliche Aussage: Dann ist \( B := \{w, v_1, ... , v_n \} \) eine Basis von \(V\), sd. \(x\) bzgl. dieser Basis strikte obere Dreiecksgestalt hat.

Diese Aussage möchte ich jetzt nicht vollständig sauber beweisen, sondern ich möchte (für einen Vortrag) einfach nur argumentieren, wieso das Sinn macht. Ich hätte das dann so formuliert:

Also erstmal weiss man, dass die Urbilder \( \{v_1, ... ,v_n\}\) weiterhin linear unabhängig bleiben. Da \( V/U\) gerade durch das Rausteilen von \( w\) entsteht, könenn wir zu \( \{v_1, ... ,v_n\}\) das \(w\) hinzufügen, und das bleibt linear unabhängig und wird somit zu einer Basis von \( V \). Nun ist die Frage, wieso dann \(x\) in dieser Matrix weiterhin eine strikte obere Darstellungsmatrix hat. Wir wissen, dass \( \bar{x}\) angewendet auf einen Vektor aus \( \tilde{B}\) die richtige Gestalt hat für eine strikte obere Dreiecksmatrix. Also hätte bspw. \( \bar{x}(v_1+U) = xv_1 + U\) die richtige Gestalt. Damit hat aber auch das Urbild \(xv_1 \) die richtige Gestalt für eine strikte obere Dreiecksmatrix. Für \(w\) gilt auch, dass \( xw = 0\) ist, also ist der erste Spaltenvektor aus der Matrix bzgl. \(B\) der Nullvektor. Somit hat \(x\) angewendet auf \(B\) die richtige Form für eine strikte obere Dreiecksmatrix, somit ist also die darstellende Matrix eine strikte obere Dreiecksmatrix

So in etwa wäre das Argument (vielleicht ein paar Stellen anders formuliert). Findet ihr das in Ordnung? Es ist wie gesagt für einen Vortrag, es ist nicht ganz so wichtig, dass es komplett formal formuliert ist, es soll einfach leicht verständlich sein.
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Triceratops
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Ich halte das nicht für überzeugend.

Dass die Gestalt (etwa für $ v_1$) über $V/U$ richtig ist, impliziert noch lange nicht, dass es in $V$ so ist, weil die Gleichungen ja nur modulo $U$ gelten. Man muss hier argumentieren, dass der "Fehler" in $U$ liegt, also in der ersten Zeile ankommt (und $v_1$ startet ja in der 2. Spalte, wenn wir $w$ hinzugefügt haben!), also die obere Dreiecksform nicht zerstört.

Es wäre einfacher, präziser, verständlicher und überzeugender, den Beweis einfach auszuschreiben. Es sind nur 2-3 Zeilen. Ich schreibe Restklassen mit Klammern.

$w,v_1,\dotsc,v_n$ ist eine Basis von $V$, weil $[v_1],\dotsc,[v_n]$ eine Basis von $V/\langle w \rangle$ ist. Es gilt $xw=0$ und $[x v_i] \in \langle [v_1],\dotsc,[v_{i-1}]\rangle$, das heißt $xv_i \in \langle v_1,\dotsc,v_{i-1} \rangle + \langle w \rangle = \langle w,v_1,\dotsc,v_{i-1} \rangle$. Also ist die Matrix hierzu eine strikte obere Dreiecksmatrix.



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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Ja du hast recht, so ist die Begründung eigentlich auch noch viel einfacher zu verstehen. Vielen Dank!



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LineareAlgebruh
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Obwohl, ich hätte noch eine kurze Frage: Du schreibst:

 "$[x v_i] \in \langle [x v_1],\dotsc,[x v_{i-1}]\rangle$"

Ich hätte aber eher gedacht, es wäre:

 "$[x v_i] \in \langle [ v_1],\dotsc,[ v_{i-1}]\rangle$"

Weil das Bild eines Basisvektors sich als Linearkombination der vorherigen Basisvektoren darstellen lässt, richtig?
\(\endgroup\)


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Ist korrigiert.



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