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Universität/Hochschule Stammfunktionen bestimmen
mathe22
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Sei \( \Omega \subset \) C ein Bereich (offene und nicht-leere Teilmenge), der wegweise zusammenhängend ist (d.h. es lassen sich je zwei Punkte durch einen stückweise stetig differenzierbaren Weg verbinden), und \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \) stetig. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) \( f \) besitzt eine Stammfunktion;

(b) Für jeden geschlossenen Weg \( \gamma \) in \( \Omega \) gilt \( \int \limits_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z=0 \).

Kann mir bitte jemand sagen, wie man das hier löst?

Danke!



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29


Huhu Mathe22,

ein paar Ideen solltest Du schon selbst entwickeln.

Aber, wenn Du lediglich eine "Starthilfe" benötigst, kannst Du folgende Ideen vielleicht nutzen:

Für die Richtung (a)=>(b) kannst Du den (reellen) Hauptsatz nutzen. Beachte das Dein Integrationsweg (stückweise) glatt ist.
Für die Richtung (b)=>(a) ist es sinnvoll, einen festen Punkt $z_0\in \Omega$ zu wählen und für $z\in\Omega$ einen (stückweise glatten) Weg $\gamma_z$ von $z$ nach $z_0$ zu wählen und $F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta) d\zeta$ als "Kandidaten" für eine Stammfunktion anzusehen.

lg, AK.



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