Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Mathematik » Geometrie » Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Ich soll zeigen, dass die folgende Formel die Fläche eines Dreiecks beschreibt:
F= (a^2+b^2-c^2)/4 * sin(gamma)/cos(gamma)

Ich weiß nicht genau, welchen Ansatz ich hier wählen sollte. Ob man hier mit der heronschen Flächenformel oder Sinus-/Kosinussatz arbeiten soll...
Danke für jede Antwort!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27700
Herkunft: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Rurien9713

Hast du das mal mit einem konkreten Dreieck ausprobiert?
$$F=\frac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma)$$ ist schlichtweg falsch.


Falsch! Also meine Aussage, daß die Behauptung im TS falsch ist.
Wenn man halt zu doof ist, die $\gamma$ gegenüberliegende Seite als $c$ zu nehmen😖


Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Ich bin auch nicht darauf gekommen mit verschiedenen Rechnungen, habe aber die Formel nicht direkt an einem Dreieck ausprobiert. Was ich vielleicht hätte machen sollen.

Die Aufgabe lautet nun aber:
Zeigen Sie, dass für die Fläche F eines Dreiecks die oben genannte Formel gilt.

Also ist die Aufgabe einfach falsch gestellt? HIer kann man dann ja nicht viel zeigen...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5792
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,

die Formel ist schon richtig. Um das einzusehen, kann man mit Hilfe des Kosinussatzes den Zähler folgendermaßen ersetzen:

\[a^2+b^2-c^2=2ab\cos\gamma\]
Nach ein klein wenig Kürzen steht dann da nichts anderes als die halbe Fläche eines Parallelogramms mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) und einem Winkel \(\gamma\).

@Rurien9713:
Du könntest uns dabei helfen, für dich zielführende Hinweise zu formulieren, indem du einmal präzise angibst, in welchem Zusammenhang du diese Aufgaben bearbeitest. Was steht da insbesondere an Vorwissen zur Verfügung, also was darf verwendet werden?

Das hat hier den ganz konkreten Hintergrund, dass man das ganze relativ einfach mit Vektoren angehen könnte.

Es geht aber natürlich auch ganz klassisch über eine trigonometrische Argumentation.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 308
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-29


2020-11-29 16:13 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
F= (a^2+b^2-c^2)/4 * sin(gamma)/cos(gamma)

Das geht so: beginne mit einer einfachen Grundformel und verwende darin trigonometrische Identitäten bzw. weitere trigonometrische Sätze.

$\begin{array}{l l l }
A = \frac12 bc \sin(\alpha)
 &=\dfrac{bc \sin(\alpha)}{2} \cdot \dfrac{\cos(\alpha)}{ \cos(\alpha)}
     &\longleftarrow~~ \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
\\[1em]
&= \dfrac{bc \cos(\alpha)}{2} \cdot  \tan(\alpha)
    &\longleftarrow~~
       a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) ~~ \textsf{[Kosinussatz]}
\\[1em]
&= \dfrac{bc \cdot  \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} \cdot  \tan(\alpha) \\[1.5em]
&= \dfrac{b^2+c^2-a^2}{4} \cdot \tan(\alpha)
\end{array}$

Also hat man für die die Dreiecksfläche, gemäß des sogenannten zyklischen Vertauschens, die Formeln

$A
~~=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4} \cdot \tan(\alpha)
~~=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4} \cdot \tan(\beta)
~~=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma)$


Hinweis: Hier hat man alle drei Seitenlängen und einen Winkel. Eine ähnliche Formel benötigt nur die drei Seitenlängen:
$A=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}$, siehe hier.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Hallo zsm.
Vielen Dank, dass mir hier so viele helfen wollen.

Also wir haben bisher noch keine Vektorbeweise oder ähnliches eingeführt, falls das die Frage war. Im Zusammnehang mit dieser Aufgabe haben wir den Sinus-& Kosinussatz eingeführt und außerdem den Satz des Heron zur Berechnung der Fläche.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 308
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-29


2020-11-29 18:07 - Rurien9713 in Beitrag No. 6 schreibt:
Also wir haben bisher noch keine Vektorbeweise oder ähnliches eingeführt, falls das die Frage war. Im Zusammnehang mit dieser Aufgabe haben wir den Sinus-& Kosinussatz eingeführt und außerdem den Satz des Heron zur Berechnung der Fläche.

Was fehlt Dir jetzt noch in Beitrag No.5? Das ist einfach schlichte Formelarbeit; man braucht eben den richtigen Ansatz.
Ich habe mal noch zwei Zeilen ergänzt, falls es unklar sein sollte, dass man durch zyklisches Vertauschen alle drei möglichen Konstellationen für $a,b,c,\alpha,\beta,\gamma$ erhält.

PS: Ach so, vielleicht ist auch noch $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ unklar. Das habe ich mal zur Sicherheit auch noch ergänzt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Das ist sehr nett, aber den Rest habe ich mir tatsächlich dann erschließen können.

Nur der 1. Schritt mit dem cos/cos. Das kann man einfach machen weil es 1 ist und somit nichts verändert, oder? (vielleicht nicht perfekt ausgedrückt)

Aber vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1450
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-29


Hallo

Ja, durch cos/cos ändert sicht nichts. Ich würde mir aber einen Gedanken zu Gamma gleich 90° machen.

Gruß Caban



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Da dies dann 0 ist wäre es nicht möglich weiter zu rechnen, da man durch 0 nicht teilen kann.
Kann ich zu Beginn dann einfach definieren, dass es nicht 0 werden soll?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1450
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-30


Hallo

Ich würde schreiben, dass die Formel nicht für gamma gleich 90° gilt.

Gruß Caban



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 308
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-30


Ich würde es einfach so aufschreiben:

$A =\begin{cases}
\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma),
    & \text{ falls }
       \gamma \, \in \,  ]0^\circ,~180^\circ[
              \,  \backslash \,   \{90^\circ\} \\
\dfrac{ab}{2},     & \text{ falls } \gamma=90^\circ
\end{cases}$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Super Leute. Danke!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rurien9713 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Rurien9713 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]