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Universität/Hochschule J Gauß-Lemma für UFDs
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Hallo,
bekannt ist folgendes Theorem: Eine algebraische Zahl $a\in \IC$ ist ganz über $\IZ$ gdw. das Minimalpolynom über $\IQ$ in $\IZ[X]$ liegt.
Wenn ich mich nicht irre kann man $\IZ$ aber durch ein beliebigen faktoriellen Ring $R$ ersetzen ($\IQ$ dann durch den Quotientenkörper $K$ und $\IC$ durch eine beliebige Körpererweiterung $L$).

Stimmt das? Gibt es einen Namen dafür oder irgendwo einen Verweis dazu?
Habe nämlich einen alten Beweis dazu einfach "modifiziert".
Man muss nämlich bei der Hinrichtung folgendes Lemma zeigen:
Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K$ der Quotientenkörper und $g,h\in K[X]$ normiert. Dann folgt aus $g\cdot h \in R[X]$ schon $g,h\in R[X]$.

Edit: Ich habe gerade den Satz von Gauß gelesen bzgl. Inhalt von Polynomen. Damit könnte man obiges direkt beweisen, wenn ich mich nicht irre.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29


Das ist alles richtig und wohlbekannt.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Vielen lieben Dank, bist der Beste!! 😄



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Das ist wahr für normale Integritätsbereiche $R$, siehe MSE/1577329.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Vielleicht noch eine Frage:...

Danke Kezer, wollte gerade fragen, ob es für Dedekindringe wahr ist 😁



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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