Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Stetige Grenzfunktion gleichmäßig konvergenter Funktionen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Stetige Grenzfunktion gleichmäßig konvergenter Funktionen
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Hallo!
Ich habe eine Frage zu dem Beweis zur Stetigkeit der Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktion.
Ich kenne bereits eine Beweismethode, doch wollte fragen, ob hier jemand eine schöne aber kurze Beweismethode kennt.
lg



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5313
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29


Es gibt in dem Fall nur einen Beweis (bis auf Umformulierungen). Er schreibt sich zudem automatisch hin, jeder Schritt ist erzwungen, vgl. hier.
 
Sei $X$ ein topologischer Raum, $Y$ ein metrischer Raum. Sei $(f_n : X \to Y)$ eine Funktionenfolge und $f : X \to Y$ eine Funktion mit $f_n \to f$ gleichmäßig, und jedes $f_n$ sei stetig. Dann ist auch $f$ stetig.

Beweis. Sei $x \in X$. Sei $\varepsilon > 0$. Es gibt ein $n$ mit $\sup_{y \in X} d(f_n(y),f(y)) \leq \varepsilon/3$. Weil $f_n$ stetig in $x$ ist, gibt es eine offene Umgebung $U$ von $x$, sodass $d(f_n(y),f_n(x)) \leq \varepsilon/3$ für alle $y \in U$. Für alle $y \in U$ folgt also $d(f(x),f(y)) \leq d(f(x),f_n(x)) + d(f_n(x),f_n(y)) + d(f_n(y),f(y)) \leq \varepsilon$, fertig.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo,
super danke für diese Antwort!

Den Beweis kenne ich auch bereits, doch die Stelle an der ich auf die Umgebung schließe aufgrund der Stetigkeit, verstehe ich noch nicht ganz. Ist das eine Eigenschaft der Stetigkeit oder wie?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 176
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Und wird dabei dann die Dreiecksungleichnung angewendet oder wie?

Kannst du mir vielleicht die Abschätzungen und die Umgebungen etwas genauer erklären in dem Beweis weil ich den echt gerne komplett verstehen würde?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5313
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30


1) Es ist die Definition von Stetigkeit. de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion

2) Ja, Dreiecksungleichung.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Rurien9713 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rurien9713 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]