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  Eigenschaften Logarithmusfunktion |
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MilanBl
Junior 
Dabei seit: 10.10.2020
Mitteilungen: 18
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Hallo Zusammen
Ich habe in meinem Lehrmittel (modler tutorium) diese Sätze, welche im Buch bewiesen werden, wobei ich die 3. Beweisführung nicht nachvollziehen kann (siehe markierte Gleichheitszeichen)
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5758
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
die erste der fraglichen Gleichheiten folgt direkt aus dem Grenzwert der geometrischen Reihe für \(|t|<1\), indem man dort anstelle von \(t\) einfach \(-t\) setzt. Also:
\[\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n=\frac{1}{1-(-t)}=\frac{1}{1+t}\]
Für die zweite Gleichheit wird nach t integriert und dann werden die Schranken eingesetzt.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Conny42
Senior 
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 155
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-30
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Huhu MilanBl,
bei dem ersten von dir gelb markierten Gleichheitszeichen wurde die geometrische Reihe verwendet;
ist $|-t|<1$ (was wegen |x|<1 für die betrachteten $t$ erfüllt ist), so gilt
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-t)^n = \dfrac{1}{1-(-t)} = \dfrac{1}{1+t}$.
Bei dem zweiten von dir gelb markierten Gleichheitszeichen wurde das Integral berechnet:
$\displaystyle \int_0^x (-t)^n\, dt = ((-1)^n\frac{t^{n+1}}{n+1})\Bigg\vert_0^x = (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
Liebe Grüße,
Conny
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MilanBl
Junior 
Dabei seit: 10.10.2020
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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Ja das Hilft schon sehr, die geometrische Reihe habe ich gesucht. Was ich dann aber noch nicht ganz verstehe ist, warum man die erste markierte Gleichheit setzen darf. x wird zwar als < 1 definiert, aber t muss ja nicht kleiner 1 sein oder? Die erste Gleichheit ln(1+x)=... ist ja auch für t>1 gegeben?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5758
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das hat mit der Variablen \(x\) hier zunächst nichts zu tun: es geht einfach um die Gleichheit \(\frac{1}{1+t}=\ds\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\), die hier benutzt wurde. Mehr passiert an diesem ersten gelb markierten Gleichheitszeichen nicht.
Die Variable \(t\) ist hier ja nur eine Hilfsvariable, in die nachher \(x\) eingesetzt wird (Stichwort: Integralfunktion). Insofern kann man für \(t\) die gleiche Definitionsmenge annehmen wie die, die für \(x\) vorgegeben ist.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MilanBl
Junior
Dabei seit: 10.10.2020
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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