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\light\ Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Für alle Mengen A und B gilt die Gleichheit Pot(A)\union\ Pot(B) = Pot(A\union\ B).


\light\ Mein Lösungsansatz:
Wenn ich es richtig verstehe, so beweist man Gleichheit indem man sozusagen zeigt, dass beide Richtungen ''=>'' und ''<=='' gelten. Also:

Sei X eine bel. Menge, dann:


''=>''
=>X\el\ (Pot(A)\union\ Pot(B))
=>X\el\ Pot(A) \or\ X\el\ Pot(B)
=>X\subsetequal\ A\union\ X\subsetequal\ B
=>X\subsetequal\ A\union\ B
=>X\el\ Pot(A\union\ B)

Somit wäre diese Richtung bewiesen denke ich. Allerdings bin ich mir nicht sicher beim Übergang von Zeile 3 auf 4. So habe ich es in einem Beispiel gesehen, aber ich konnte keinen Beweis finden, dass es erlaubt ist.


''<==''
=>X\el\ Pot(A\union\ B)
=>X\subsetequal\ A\union\ B
=>X\subsetequal\ A\union\ X\subsetequal\ B
...
Ab hier wird es schwierig und es kommt wieder die gleiche Frage auf: ist diese Umformung so erlaubt? Also aus einer Vereinigung eine ODER Verknüpfung zu machen? Weder in meinem Skript noch in diversen Mathe Büchern kann ich dazu Informationen finden.

\
''<==''
=>X\el\ Pot(A\union\ B)
=>X\subsetequal\ A\union\ B
\red\ =>X\subsetequal\ A\union\ X\subsetequal\ B
\red\ =>X\el\ Pot(A) \or\ X\el\ Pot(B)
\red\ =>X\el\ (Pot(A)\union\ Pot(B))

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A = {1,2}
B = {1,3}
A \cup B = {1,2,3}

Pot(A) = {\0, {1}, {2}, {1,2}}
Pot(B) = {\0, {1}, {3}, {1,3}}

Pot(A) \cup Pot(B) = {\0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}}
Pot(A\cup B) = {\0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

\
z.z.: Pot(A)\union\ Pot(B) = Pot(A\union\ B)

''=>''
=>X\el\ (Pot(A)\union\ Pot(B))
=>X\el\ Pot(A) \or\ X\el\ Pot(B)
=>X\subsetequal\ A\or\ X\subsetequal\ B
=>X\subsetequal\ A\union\ B
=>X\el\ Pot(A\union\ B)

''<==''
=>X\el\ Pot(A\union\ B)
=>X\subsetequal\ A\union\ B
\red\ =>X\subsetequal\ A\or\ X\subsetequal\ B

falsche Schlussfolgerung, die Aussage ist falsch. \bigbox