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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Gleichheit von Potenzmengen beweisen
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Universität/Hochschule J Gleichheit von Potenzmengen beweisen
Logik_Noob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-30


Hallo,

nach vergeblichem googeln/Literaturrecherche muss ich mich mal an euch wenden.

Es geht darum Aussagen über Potenzmengen zu beweisen bzw. zu widerlegen.

fed-Code einblenden

Vielleicht kann mir hier ja jemand den nötigen Denkanstoß geben. Freue mich über jede Antwort.

VG



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Die Aufgabe lautet "beweise oder widerlege". ;-)

Dein erster Teil passt: Wenn $X \subseteq A$ oder $X \subseteq B$, dann ist $X \subseteq A \cup B$. (Beweis: Sei $x \in X$, dann ist $x \in A$ oder...)
Und wie du im zweiten Teil bemerkst, gilt die Rückrichtung nicht.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-30


Hallo zusammen,

@Logik_Noob: willkommen hier im Forum!

2020-11-30 15:39 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Aufgabe lautet "beweise oder widerlege". ;-)

Genau. Und widerlegen könnte man das mit einem möglichst einfachen Gegenbeispiel.


Gruß, Diophant



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Logik_Noob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Das hab ich bis jetzt noch gar nicht bemerkt, dass die Rückrichtung nicht geht, war nur Zufall das ich an dieser Stelle gestolpert bin :)

Allerdings bin ich jetzt verwirrt wann bzw. wo ich welchen Operator anwende, also \(\lor\) vs. \(\cup\). Mir ist nicht klar, warum ich den 2. Teil nicht so fortführen könnte wie der 1. Teil begonnen hat? Also:

fed-Code einblenden

Sorry ich sitze da schon viel zu lange dran, wahrscheinlich überseh ich nur irgendwas völlig offensichtliches.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30


Hallo,

achte auf die Kursivschreibung in Beitrag #1. ;-)

Und bevor du dich noch weitere Sunden damit quälst: die Behauptung ist falsch. Es gilt also, sie zu widerlegen.


Gruß, Diophant




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-30


Die Gleichung kann schon alleine deshalb nicht stimmen, weil ja bekanntlich $2^n + 2^m$ etwas anderes als $2^{n+m}$ ist. (Zusammenhang: $P(A)$ hat $2^n$ Elemente, wenn $A$ genau $n$ Elemente hat.) Aber $2^{n+m}$ ist gleich $2^n \cdot 2^m$, und tatsächlich gilt auch $P(A \cup B) \cong P(A) \times P(B)$ wenn $A,B$ disjunkte Mengen sind.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-30


Hallo Logik_Noob,

so etwas darfst du nicht schreiben:

2020-11-30 16:11 - Logik_Noob in Beitrag No. 3 schreibt:
fed-Code einblenden

Bestenfalls wäre das korrekt:
\(X\subseteq A\) oder \(X\subseteq B\)

Aber aus \(X\subseteq A\cup B\) folgt eben nicht, dass \(X\subseteq A\) oder \(X\subseteq B\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Logik_Noob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Danke für die vielen Antworten.

Ich habe mir das ganze jetzt mal anhand eines Beispiels verdeutlichen können:

fed-Code einblenden

Damit ist die Aussage dann sicherlich auch schon ausreichend widerlegt.

Trotzdem möchte ich das ganze nochmal wie zuvor - jetzt aber hoffentlich korrekt - aufschreiben:

fed-Code einblenden

Wäre das so formal einigermaßen richtig?

@StrgAltEntf danke für den Hinweis, ich habe nicht daran gedacht, dass es sich bei dem X ja selbst um eine Menge handelt und die Schlussfolgerung dann nicht gelten kann.





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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-30


2020-11-30 17:47 - Logik_Noob in Beitrag No. 7 schreibt:
Wäre das so formal einigermaßen richtig?
Nein! Formal richtig wird es nur durch ein Gegenbeispiel. Denn es könnte ja einen anderen raffinierteren Beweis für die Aussage geben.



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Logik_Noob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Ach so, dann reichte es also schon ein einfaches Beispiel wie das obere anzugeben? Dadurch wird die Aussage ja schon widerlegt. Kann ich mir dann die restliche Beweisführung sparen?



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StrgAltEntf
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2020-11-30 18:15 - Logik_Noob in Beitrag No. 9 schreibt:
Kann ich mir dann die restliche Beweisführung sparen?

Ja kannst du. Wie gesagt: Der vergebliche Versuch, eine Aussage zu beweisen, ist noch kein Grund dafür, dass die Aussage falsch ist.



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Logik_Noob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Ja das leuchtet mir, ein vielen dank für die Hilfe!



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